【数学】2011年高考试题——文（天津卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题用05毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.i是虚数单位，复数131ii=A.2iB.2iC.12iD.12i【答案】A【解析】因为13(13)(1)212iiiii，故选A.2.设变量,xy满足约束条件140340xxyxy,则目标函数3zxy的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左顶点与抛物线22(0)ypxp的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.23B.25C.43D.45【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x,所以4p,又42pa,所以2a,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12yx,即12ba,所以1b,即25c,225c,选B.7.已知函数()2sin(),,fxxxR其中0,.若()fx的最小正周期为6,且当2x时,()fx取得最大值,则A.()fx在区间[2,0]上是增函数B.()fx在区间[3,]上是增函数C.()fx在区间[3,5]上是减函数D.()fx在区间[4,6]上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知集合||1|2,AxRxZ为整数集,则集合AZ中所有元素的和等于.【答案】3【解析】因为|13Axx,所以0,1,2AZ,故其和为3.10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m.【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.11.已知na是等差数列,nS为其前n项和,nN.若316a,2020S,则10S的值为.【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）编号分别为1216,,,AAA的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14[来源:学|科|网Z|X|X|K]A15A16得分1726253322123138(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,(i)用运动员编号列出所有可能的抽取结果;(ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC中,内角A,B,C的对边分别为,,abc.已知B=C,23ba.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求cos(2)4A的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,23ba,可得32cba,所以22222233144cos2333222aaabcaAbcaa.(Ⅱ)因为1cos3A,(0,)A,所以22sin3A,27cos22cos19AA,故42sin22sincos9AAA,所以cos(2)cos2cossin2sin444AAA87218.【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,45ADC,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(Ⅰ)证明PB∥平面ACM;(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO,因为PB平面ACM,MO平面ACM,所以PB∥平面ACM.(Ⅱ)证明:因为45ADC,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO⊥AD,而ACPOO,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在RtDAO中,AD=1,AO=12,所以54DO,从而1524ANDO.在RtANM中,1tan54MNMANAN455,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF,点(,)Pab满足212||||PFFF.（Ⅰ）求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线2PF与椭圆相交于A,B两点.若直线2PF与圆22(1)(3)16xy相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,fxxtxtxtxR其中tR.（Ⅰ）当1t时,求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程;(Ⅱ)当0t时,求()fx的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t,()fx在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当1t时,32()436,(0)0,fxxxxf2'()1266,'(0)6fxxxf,所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为6yx.(Ⅱ)22'()1266,fxxtxt令'()0fx,解得xt或2t,因为0t,以下分两种情况讨论:(1)若0t,则2tt.当x变化时,'()fx,()fx的变化情况如下表:x(,)2t(,)2tt(,)t'()fx+-+[()fx所以()fx的单调递增区间是(,)2t,(,)t;()fx的单调递减区间是(,)2tt.(2)若0t,则2tt.当x变化时,'()fx,()fx的变化情况如下表:所以()fx的单调递增区间是(,)t,(,)2t;()fx的单调递减区间是(,)2tt.所以()fx在(,1)2t内存在零点.若(1,2)t,37()(1)24tftt37104t,x(,)t(,)2tt(,)2t'()fx+-+()fx(0)10,ft所以()fx在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t,()fx在区间(0,1)内均在零点.综上,对任意(0,)t,()fx在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.20.（本小题满分14分）已知数列na与nb满足11(2)1nnnnnbaba,13(1),2nnbnN,且12a.（Ⅰ）求23,aa的值;(Ⅱ)设2121nnncaa,nN,证明nc是等比数列;(Ⅲ)设nS为na的前n项和,证明21212122121()3nnnnSSSSnnNaaaa.