【数学】2011年高考试题——文（陕西卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(文科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a，b是向量，命题“若ab，则||||ab”的逆命题是（）（A）若ab，则||||ab（B）若ab，则||||ab（C）若||||ab，则ab（D）若||||ab，则ab【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选D原命题的条件是ab，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||ab，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||ab，则ab”，故选D．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）（A）28yx（B）24yx（C）28yx（D）24yx【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选C由准线方程2x得22p,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴），所以228ypxx．3.设0ab，则下列不等式中正确的是（）（A）2ababab（B）2abaabb（c）2abaabb(D)2ababab【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选B（方法一）已知ab和2abab，比较a与ab，因为22()()0aabaab，所以aab，同理由22()()0babbba得abb；作差法：022abbab，所以2abb，综上可得2abaabb；故选B．（方法二）取2a，8b，则4ab，52ab，所以2abaabb．4.函数13yx的图像是（）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．【解】选B取18x，18，则12y，12，选项B，D符合；取1x，则1y，选项B符合题意．二、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）6.2837.838.8-2π9.23【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【解】选A由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V.6.方程cosxx在,内（）(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C构造两个函数||yx和cosyx，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当126,9,xx8.5p时，3x等于（）(A)7(B)8(C)10（D）11【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算．【解】选B∵126,9,xx∴3|9|3x；又8.5p，127.52xx，显然3|9|3x不成立，即为“否”，∴有3|9|3x„，即3612x剟，此时有398.52x，解得38x，符合题意，故选B．8.设集合22{||cossin|,}MyyxxxR，{|||1xNxi，i为虚数单位，xR}，则MN为（）(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C22|cossin||cos2|[0,1]yxxx，所以[0,1]M；因为||1xi，即||1xi，所以||1x，又因为xR，所以11x，即(1,1)N；所以[0,1)MN，故选C.9．设1122(,),(,),xyxy···，(,)nnxy是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线l过点(,)xy（B）x和y的相关系数为直线l的斜率（C）x和y的相关系数在0到1之间（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．【解】选A选项具体分析结论A回归直线l一定过样本点中心(,)xy；由回归直线方程的计算公式aybx可知直线l必过点(,)xy正确B相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确C相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在1到0之间时，两个变量负相关不正确Dl两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（）（A）①和（B）⑨和⑩(C)⑨和(D)⑩和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．【解】选D（方法一）选项具体分析结论A①和：10(1219)23800比较各个路程和可知D符合题意B⑨：10[(128)2(1211)2]2040⑩：10(129)10(1210)2=2000C：10(129)10(1210)2=2000D⑩和：路程和都是2000（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)219(119)10238002；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)29(19)10(110)1021022290011002000，所以路程总和最小为2000米.(二）填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设lg,0()10,0xxxfxx„，则((2))ff______.【分析】由2x算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断(2)f作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．【解】∵20x，∴21(2)100100f，所以22(10)lg102f，即((2))2ff．【答案】212．如图，点(,)xy在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为________.【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．【解】目标函数2zxy，当0x时，zy，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线20xy，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时2111z．【答案】113．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是21n；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=4947则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以256[5(251)1]9，即561381．【答案】567891011121381（或561381）14．设nN，一元二次方程240xxn有整数．．根的充要条件是n．【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解】41642nx24n，因为x是整数，即24n为整数，所以4n为整数，且4n„，又因为nN，取1,2,3,4n验证可知3,4n符合题意；反之3,4n时，可推出一元二次方程240xxn有整数．．根．【答案】3或415．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|1||2|xxa…对任意xR恒成立，则a的取值范围是．【分析】先确定|1||2|xx的取值范围，则只要a不大于|1||2|xx的最小值即可．【解】当1x„时，|1||2|12213xxxxx…；当12x„时，|1||2|123xxxx；当2x时，|1||2|12213xxxxx；综上可得|1||2|3xx…，所以只要3a„，即实数a的取值范围是(,3]．【答案】(,3]B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AEBC，90ACD，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【解】因为AEBC，所以∠AEB=90ACD，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以ACADAEAB,所以64212ABACAEAD．【答案】2C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线1C：3cossinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线1C的方程是22(3)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以||AB的最小值为2230111．【答案】1（3）解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）P.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴当ΔＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC．（2）由（1）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,1111,22DAMDBCDCASSS1322sin6022ABCS∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是13333.222S17.（本小题满分12分）设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35．（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．【解】（1）将点（0，4）代入C的方程得2161b,∴b=4,又35cea得222925aba，即2169125a，∴5a∴C的方程为2212516xy