【数学】2011年高考试题——理（陕西卷）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a，b是向量，命题“若ab，则||||ab”的逆命题是（）（A）若ab，则||||ab（B）若ab，则||||ab（C）若||||ab，则ab（D）若||||ab，则ab【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选D原命题的条件是ab，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||ab，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||ab，则ab”，故选D．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）（A）28yx（B）28yx（C）24yx（D）24yx【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选B由准线方程2x得22p,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴），所以228ypxx．3．设函数()fx（xR）满足()()fxfx，(2)()fxfx，则函数()yfx的图像是（）【分析】根据题意，确定函数()yfx的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【解】选B由()()fxfx得()yfx是偶函数，所以函数()yfx的图象关于y轴对称，可知B，D符合；由(2)()fxfx得()yfx是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．4．6(42)xx（xR）展开式中的常数项是（）（A）20（B）15（C）15（D）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C62(6)1231666(4)(2)222rxrxrrxrxrrxxrrTCCC，令1230xxr，则4r，所以45615TC，故选C．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）283（B）83（C）82（D）23【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V.6．函数()cosfxxx在[0,)内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【解】选B（方法一）数形结合法，令()cosfxxx0，则cosxx，设函数yx和cosyx，它们在[0,)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数()cosfxxx在[0,)内有且仅有一个零点；（方法二）在[,)2x上，1x，cos1x，所以()cosfxxx0；在(0,]2x，1()sin02fxxx，所以函数()cosfxxx是增函数，又因为(0)1f，()022f，所以()cosfxxx在[0,]2x上有且只有一个零点．7．设集合22{||cossin|,}MyyxxxR，1{|||2Nxxi，i为虚数单位，xR}，则MN为（）（A）（0，1）（B）(0，1]（C）[0，1)（D）[0，1]【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C22|cossin||cos2|[0,1]yxxx，所以[0,1]M；因为1||2xi，所以||2xi，即|()|2xi，又因为xR，所以11x，即(1,1)N；所以[0,1)MN，故选C.8．右图中，1x，2x，3x为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当16x，29x，8.5p时，3x等于（）（A）11（B）10（C）8（D）7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件3132||||xxxx是否成立是解答本题的关键．【解】选C16x，29x,12||32xx„不成立,即为“否”，所以再输入3x；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式3132||||xxxx知，点3x到点1x的距离小于点3x到2x的距离，所以当37.5x时，3132||||xxxx成立，即为“是”，此时23xx，所以132xxp，即368.52x，解得311x7.5，不合题意；当37.5x…时，3132||||xxxx不成立，即为“否”，此时13xx，所以322xxp，即398.52x，解得38x7.5，符合题意，故选C．9．设1122(,),(,)xyxy，…，33(,)xy是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（）（A）x和y的相关系数为直线l的斜率（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线l过点(,)xy【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．【解】选D选项具体分析结论A相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确B相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在1到0之间时，两个变量负相关不正确Cl两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确D回归直线l一定过样本点中心(,)xy；由回归直线方程的计算公式aybx可知直线l必过点(,)xy正确10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A）136（B）19（C）536（D）16【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．【解】选D甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466AA（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556AA（种），所以33554466616AAPAA．二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设20lg0()30axxfxxtdtx„，若((1))1ff，则a．【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从1x算起是解答本题的突破口.【解】因为10x，所以(1)lg10f，又因为230()3afxxtdtxa，所以3(0)fa，所以31a，1a．【答案】112．设nN，一元二次方程240xxn有整数．．根的充要条件是n．【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解】41642nx24n，因为x是整数，即24n为整数，所以4n为整数，且4n„，又因为nN，取1,2,3,4n，验证可知3,4n符合题意；反之3,4n时，可推出一元二次方程240xxn有整数．．根．【答案】3或413．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n个等式为.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是21n；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=4947………………所以2(1)[(21)1](21)nnnnn，即2(1)(32)(21)nnnn【答案】2(1)(32)(21)nnnn14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），12…i…1920那么各个树坑到第i个树坑距离的和是(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10siiiiiii(1)(20)(120)10[(20)]22iiiiiiii210(21210)ii，所以当10i或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)29(19)10(110)1021029001100200022，所以路程总和最小为2000米.【答案】200015．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若关于x的不等式|||1||2|axx…存在实数解，则实数a的取值范围是．【分析】先确定|1||2|xx的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可．【解】当1x„时，|1||2|12213xxxxx…；当12x„时，|1||2|123xxxx；当2x时，|1||2|12213xxxxx；综上可得|1||2|3xx…，所以只要||3a…，解得3a„或3a…，即实数a的取值范围是(,3][3,)．【答案】(,3][3,)B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AEBC，90ACD，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【解】因为AEBC，所以∠AEB=90ACD，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以ACADAEAB,所以64212ABACAEAD，在Rt△AEB中，22226242BEABAE．【答案】42C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线1C：3cos4sinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线1C的方程是22(3)(4)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以||AB的最小值为2234113．【答案】3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=60，∠BAC90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC90．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．【分析】（1）确定图形在折起