立体几何空间角

空间角专讲座题及其求法教材地位分析高考地位分析（1）立体几何板块主要有两大类型（1）判断、推理型（2）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。（2）在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。立体几何高考分析高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。理解空间角的概念、会求空间角的大小。异面直线所成角直线与平面所成角二面角图形定义表示范围要点用什么度量？]2,0[）（面－棱－面l]0[，]2,0（从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（直）角异面直线a，b所成角斜线与它在平面内的射影所成的锐角。线a与平面所成角找适当点、找射影、二足作平行线相连1.作出所求的空间角定位2.证明所作的角符合定义定性3.构造三角形并求出所要求角定量简言之，空间角的求解步骤为：“一作”“二证”“三算”“一作”“二证”“三算”例1.如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足21QCCQPBAP.（1）求证：A1P⊥平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.RPQAA1CDBD1C1B1方法提炼（1）易证，略（2）如何作出线面角过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1P⊥面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知即为所求角。SQPS解析只需解△QSP即可。在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。例2.DPBCAEF解析1定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。SQP解析2PBCADNMQ垂面法易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。MQN跳转易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥PC即角EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可。由解析3的分析过程知，△PFC为△PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin＝，余下的问题比较容易解决！在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。PBCADEFPBCAD解析3例2.E利用三垂线求解FG把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。EGF解析4射影面积法105跳转在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。DBCAP解析5例3.利用空间余弦定理求解在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，连接EF即可。EF利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出即可。复习方法提炼针对训练1已知二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4。求二面角－l－的大小。A.OlDOABPCEEOP针对训练2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。2KEY:22KEY:6撤消针对训练3如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。BPAβαιOKEY120º针对训练4在直角坐标系中，设A（－2,3）、B（3，－2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，，则的值为。24ABxyoAByABxo本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：空间问题技巧“移”、“补”、“换”平面问题线线角，用平移，妙选顶点，线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，空间余弦，用定义，三垂线，射影垂面。熟化归，解三角，算准结果，作证求，三环节，环环相扣。求解的基本思路为：本专题到此结束，各位领导、老师、朋友，请批评、指正1.定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。OOABAB＝AOBBOA?等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。l二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。返回求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。返回中点方法提炼1方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。返回求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。方法提炼2撤消求二面角的方法比较多，常见的有（1）定义法在棱上的点分别作棱的垂线，（3）垂面法在棱上的点分别作棱的垂线，（2）利用三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线，(1)定义法（点在棱上）(3)垂面法（点在空间内）oABoAAoBlll(2)三垂线定理法（点在面内）如例3解析1如例3解析2如例3解析3方法提炼3（4）射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，射影DBC、斜面△ABC与两面所成的二面角之间有：ABCDBCSScosABCDHM（5）空间余弦定理运用公式求解，如例3解析5cos22222mnnmdEF返回方法提炼3（续）推广EFmndClnmcnmc推广ｃ2＝ａ2＋ｂ2ｃ2＝ａ2＋ｂ2－2abcosEF2＝ａ2＋ｂ2+d2－2abcos撤消cos22222mnnmdEF用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离，异面直线所成角，还可求二面角的平面角。如图，CBF=为二面角的平面角，在CBF中，由余弦定理可求得CFcos2222mnnmCF再由RtECF可得EFmndABClmd返回