22狄拉克符号

§4-4狄拉克符号一、右矢和左矢二、标量积三、基矢组四、算符的狄拉克符号表示五、本征方程的狄拉克符号表示六、薛定格方程的狄拉克符号表示七、平均值公式的狄拉克符号表示八、表象变换的狄拉克符号表示§4-4狄拉克符号一、右矢和左矢一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄拉克符号。1．量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特空间即态空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。右矢空间中矢量写成，左矢空间的矢量写成。AABB如：xx表示坐标的本征态，对应的本征值为；pp表示动量的本征态，对应的本征值为；nEnnE或表示能量的本征态，对应的本征值为；zLˆ2ˆLlm表示和的本征态；………………ˆnnnAAˆnAnAn力学量算符满足的本征方程为Aˆ或nnnA或代表对应的本征态。2．态叠加原理右矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右矢叠加，左矢空间中的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加，即2211cc22112211cccc但右矢和左矢不能叠加。3．右矢和左矢互为共轭*22*112*21*12211)(ccccccAAˆ)ˆ(注意：和都没有意义。AˆAˆ因为ˆˆˆˆ()()BAAB另一方面所以BAABˆˆ)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(ABABˆˆAB二、标量积和的标量积定义为标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。在同一表象中，和的标量积是相应的分量的乘积之和。比如：在表象中xdxxx)()(*在表象中Qnnnab*显然三、基矢组力学量算符的本征方程为QˆnnnQˆnnQnˆ或构成一正交归一完备基矢组。n正交归一性*()()mnmnmnxxdx比如)(xxxx)(pppp完备性nnan上式两边左乘，则mnnmamn所以，展开系数nannmnnama又nnnnnn因此1nnn比如1xxxd引入算符nnPnˆ因为nPnnmmnnammmannmmnmmannan显然，该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢上去，使它变成在基矢方向上的分量。所以此算符称为投影算符。nn四、算符的狄拉克符号表示ˆF在表象下Qmmamnnbnmamnbn显然有ˆnnFˆmnFmm即mmnmnaFbFˆ其中，为算符在表象中的矩阵元。mFnFnmˆQ特别地，在自身表象中的矩阵元ˆQˆmnQmQnnmnnmn五、本征方程的狄拉克符号表示的本征方程FˆˆF它在表象中的表示QˆnFnˆmnFmmn即nmmnmaaFˆ0nmmnFmm这就是的本征方程的狄拉克符号表示。Fˆ六、薛定格方程的狄拉克符号表示Htiˆ在表象下QˆinnHt即mmnmnaHati这就是薛定格方程的狄拉克符号表示。定态薛定格方程EHˆ在表象下QnEHnˆmnEmmHnˆ即mnmnmEaaHˆmnHmm七、平均值公式的狄拉克符号表示在表象下QˆFF八、表象变换的狄拉克符号表示设表象、表象的基矢分别为、，则ABmmmm其中，。mSm在表象、表象的表示ABmamb有b其中，。mSmˆmnmmFnn*mmnnmnaFammSmmmmmmmSa一般表示与狄拉克符号表示对照表一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一()xxˆ()()FxxˆFˆxFxˆ()()ixHxtˆiHtˆixHxtˆ()()nnFuxux()0kjkjjjFaˆFnnˆFxnxnˆ0kjjkFjj*()()nmnmuxuxdxnmnmnmnxxmdx()()nnnxaux*()()nnauxxdxnxxnnnnxxdx*()()mmSuxxdxmSmmxxdx