2012新课标全国卷理科数学试题及详细解答

2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）12012年新课标全国卷理科数学试题详细解答第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|xA，yA，xyA}，则B中包含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【解析】由集合B可知，xy，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B的元素10个，所以选择D。【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【解析】先安排甲组，共有122412CC种，再安排乙组，将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A。【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。3．下面是关于复数21zi的四个命题：1p：||2z；2p：22zi；3p：z的共轭复数为1i；4p：z的虚部为1。其中的真命题为（）A．2p，3pB．1p，2pC．2p，4pD．3p，4p【解析】因为22(1)11(1)(1)iziiii，所以||2z，22(1)2zii，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，所以2p，4p为真命题，故选择C。【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。4．设1F、2F是椭圆E：2222xyab（0ab）的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．12B．23C．34D．45【解析】如图所示，21FPF是等腰三角形，212130FFPFPF，212||||2FPFFc，260PFQ，230FPQ，2||FQc，又23||2aFQc，2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）2所以32acc，解得34ca，因此34cea，故选择C。【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。5．已知{na}为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）A．7B．5C．－5D．－7【解析】因为{na}为等比数列，所以由已知得47475628aaaaaa，解得4724aa或4742aa，所以1312aq或13812aq，因此110aa91(1)7aq，，故选择D。【点评】本题主要考察等差数列的通项公式及裂项法求和。6．如果执行右边和程序框图，输入正整数N（2N）和实数1a，2a，…，Na，输出A，B，则（）A．AB为1a，2a，…，Na的和B．2AB为1a，2a，…，Na的算术平均数C．A和B分别是1a，2a，…，Na中最大的数和最小的数D．A和B分别是1a，2a，…，Na中最小的数和最大的数【解析】由程序框图可知，A表示1a，2a，…，Na中最大的数，B表示1a，2a，…，Na中最小的数，故选择C。【点评】本题主要考察程序框图的应用。7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．15否是是1kkBxAx结束输出A，B?kN?xBkxa?xA开始输入N，1a，2a，…，Na1k，1Aa，1Ba否是否2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）3【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面△BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为11(63)3932V，故选择B。【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx的准线交于A，B两点，||43AB，则C的实轴长为（）A．2B．22C．4D．8【解析】设等轴双曲线C的方程为22221xyaa，即222xya（0a），抛物线216yx的准线方程为4x，联立方程2224xyax，解得2216ya，因为||43AB，所以222||(2||)448AByy，从而212y，所以21612a，24a，2a，因此C的实轴长为24a，故选择C。【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。9．已知0，函数()sin()4fxx在（2，）上单调递减，则的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，34]C．（0，12]D．（0，2]【解析】因为0，2x，所以2444x，因为函数()sin()4fxx在（2，）上单调递减，所以242342，解得1524，故选择A。【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。OBDCA2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）410．已知函数1()ln(1)fxxx，则()yfx的图像大致为（）【解析】()yfx的定义域为{|1xx且0}x，排除D；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]xxfxxxxxx，所以当(1,0)x时，'()0fx，()yfx在（－1，0）上是减函数；当(0,)x时，'()0fx，()yfx在(0,)上是增函数。排除A、C，故选择B。【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22【解析】如图所示，根据球的性质，知1OO平面ABC，则COOO11。在直角COO1中，1OC，331CO，所以36)33(122121COOCOO。因此三棱锥S－ABC的体积6236433122ABCOVV，故选择A。【点评】本题主要考察锥体和球的性质。12．设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则||PQ的最小值为（）A．1ln2B．2(1ln2)C．1ln2D．2(1ln2)【解析】函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于直线yx对称。问题转化为求曲线12xye上点P到直线yx的距离的最小值d，则||PQ的最小值为2d。xyO11A．1yxO1xyO111xy1OB．C．D．SCOO1BA2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）5（用切线法）：设直线yxb与曲线12xye相切于点1(,)2tPte，因为1'2xye，所以根据导数的几何意义，得112te，ln2t，所以切点(ln2,1)P，从而1ln2b，所以1ln2yx因此曲线12xye上点P到直线yx的距离的最小值d为直线1ln2yx与直线yx的距离，从而1ln22d，所以min||22(1ln2)PQd，故选择B。【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。第Ⅱ卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a，b夹角为45°，且||1a，|2|10ab，则||b_________。【答案】23。【解析】由已知||2245cos||||bbaba。因为|2|10ab，所以10||4||422bbaa，即06||22||2bb，解得23||b。【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。14．设x，y满足约束条件1300xyxyxy，则2zxy的取值范围为___________。【答案】[－3，3]。【解析】可行域如右图所示。将目标函数2zxy化为zxy2121。显然当2zxy过点B（1，2）时，341minz；43211234642246x+y=3x-y=-1BACO2012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）6当2zxy过点A（3，0）时，303maxz。因此2zxy的取值范围为[－3，3]。【点评】本小题主要考察线性规划的知识。15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________。【答案】83。【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为21。因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为8321)411(P。【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。16．数列{na}满足1(1)21nnnaan，则{na}的前60项和为____________。【答案】1830。【解析】因为1(1)21nnnaan，所以211aa，323aa，435aa，547aa，659aa，7611aa，……，5857113aa，5958115aa，6059117aa。由211aa，323aa可得132aa；由659aa，7611aa可得572aa；……由5857113aa，5958115aa可得57592aa；从而1357575913575759()()()21530aaaaaaaaaaaa。又211aa，435aa，659aa，…，5857113aa，6059117aa，所以2466013559()()aaaaaaaa2143656059()()()()aaaaaaaa1591173011817702。从而24660aaaa135591770aaaa3017701800。因此6012345960Saaaaaa13592460()()aaaaaa3018001830。【点评】本小题主要考察递推数列的知识。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。元件2元件3元件12012年高考数学试题解析之全国新课标版（理科）717．（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos3sin0aCaCbc。（1）求A；（2）若2a，△ABC的面积为3，求b，c。【解析】（1）根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，得ARasin2，BRbsin2，CRcsin2，因为cos3sin0aCaCbc，所以0sin2sin2sin)sin2(3cos)sin2(CRBRCARCAR，即0sinsinsinsin3cossinCBCACA，（1）由三角形内角和定理，得CACACABsincoscossin)sin(sin，代入（1）式得0sinsincoscossinsinsin3cossinCCACACACA，化简得CCACAsinsincossinsin3，因为0sinC，所以1cossin3AA，即21)6sin(A，而A0，6566A，从而66A，解得3A