2012年浙江高考数学(理科)试卷完美版(含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。1．设集合|14Axx，集合2|230Bxxx，则()RACBA．(14)，B．(34)，C．(13)，D．(12)(34)，，2．已知i是虚数单位，则31iiA．12iB．2iC．2iD．12i3．设aR，则“1a”是“直线1l：210axy与直线2l：(1)40xay平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．把函数cos21yx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设a，b是两个非零向量A．若||||||abab，则abB．若ab，则||||||ababC．若||||||abab，则存在实数，使得baD．若存在实数，使得ba，则||||||abab6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种7．设nS是公差为d（0d）的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若0d，则数列{}nS有最大项B．若数列{}nS有最大项，则0dC．若数列{}nS是递增数列，则对任意*nN，均有0nSD．若对任意*nN，均有0nS，则数列{}nS是递增数列8．如图，1F，2F分别是双曲线C：22221(0)xyabab，的左、右两焦点，B是虚轴的端点，直线1FB与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若112||||MFFF，则C的离心率是A．233B．62C．2D．39．设0a，0bA．若2223abab，则abB．2223abab若，则abC．若2223abab，则abD．若2223abab，则ab10．已知矩形ABCD，1AB，2BC．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于3cm．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．设公比为(0)qq的等比数列na的前n项和为nS．若2232Sa，4432Sa，则q．14．若将函数5()fxx表示为2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)fxaaxaxaxaxax，其中0a，1a，2a，…，5a为实数，则3a．15．在ABC中，M是BC的中点，3AM，10BC，则ABBC．16．定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线1C：2yxa到直线l：yx的距离等于曲线2C：22(4)2xy到直线l：yx的距离，则实数a．17．设aR，若0x时均有21110axxax，则a．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos3A，sin5cosBC．（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）若2a，求ABC的面积．19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）求X的数学期望()EX．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为23的菱形，120BAD，且PA平面ABCD，26PA，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）证明：MN平面ABCD；（Ⅱ）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值．21．（本题满分15分）如图，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10，不过原点．．．．O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求ABP面积取最大值时直线l的方程．22．（本题满分14分）已知0a，bR，函数3()42fxaxbxab．（Ⅰ）证明：当01x时，（i）函数()fx的最大值为|2|aba；（ii）()|2|0fxaba；（Ⅱ）若1()1fx对[01]x，恒成立，求ab的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1．B2．D3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．A10．B二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。11．112．112013．3214．1015．-1616．9417．32三、解答题：本题共小题，满分72分。18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（Ⅰ）因为0A，2cos3A，得25sin1cos3AA又5cossinsin()CBACsincoscossinACAC52cossin33CC所以tan5C（Ⅱ）由tan5C，得5sin6C，1cos6C，于是5sin5cos6BC．由2a及正弦定理sinsinacAC，得3c．设ABC的面积为S，则15sin22SacB．19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。（Ⅰ）由题意得X取3，4，5，6，且35395(3)42CPXC，12453910(4)21CCPXC，2245395(5)14CCPXC，44391(6)21CPXC．所以X的分布列为X3456P5421021514121（Ⅱ）由（Ⅰ）知13()3(3)4(4)5(5)6(6)3EXPXPXPXPX．20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以//MMBD又因为MN平面ABCD，所以//MM平面ABCD．（Ⅱ）方法一：连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，120BAD，得23ACAB，36BDAB．又因为PA平面ABCD，所以PAAC．在直角PAC中，23AC，26PA，AQPC，得2QC，4PQ．由此知各点坐标如下，(3,0,0)A，(0,3,0)B，(3,0,0)C，(0,3,0)D，(3,0,26)P，33(,,6)22M，33(,,6)22N，326(,0,)33Q．设(,,)xyzm为平面AMN的法向量．由33(,,6)22AM，33(,,6)22AN知336022336022xyzxyz取1x，得(22,0,1)m设(,,)xyzn为平面QMN的法向量．由5336(,,)623QM，5336(,,)623QN知5336062353360623xyzxyz取5z，得(22,0,5)n于是33cos,|||33mnmnmn|．所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为3333．方法二：在菱形ABCD中，120BAD，得ACABBCDA，3BDAB，有因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD，所以PBPCPD．所以PBCPDC．而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQNQ，且1122AMPBPDAN．取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角．由23AB，26PA，故在AMN中，3AMAN，132MNBD，得332AE．在直角PAC中，AQPC，得22AQ，2QG，4PQ，在PBC中，2225cos26PBPCBCBPCPBPC，得222cos5MQPMPQPMPQBPC．在等腰MQN中，5MQNQ，3MN，得22112QEMQME．在AEQ中，332AE，112QE，22AQ，得22233cos233AEQEAQAEQAEQE．所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为3333．21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。（Ⅰ）设椭圆左焦点为(0)Fc，，则由题意得(2)11012cca，得12ca所以椭圆方程为22143xy．（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，，线段AB的中点为M．当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为0x，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为(0)ykxmm，由223412ykxmxy消去y，整理得222(34)84120kxkmxm，（1）则2222644(34)(412)0kmkm，122212283441234kmxxkmxxk所以AB线段的中点2228412(,)3434kmmMkk，因为M在直线OP上，所以22323434mkmkk，得0m（舍去）或32k，此时方程（1）为22330xmxm，则23(12)0m，1221233xxmmxx所以221239||1||126ABkxxm，设点P到直线AB距离为d，则22|82|2|4|1332mmd，设ABP的面积为S，则2213||(4)(12)26SABdmm，其中(23,0)(0,23)m，令22()(12)(4)ummm，[23,23]m2'()4(4)(26)4(4)(17)(17)ummmmmmm，所以当且仅当17m，()um取到最大值，故当且仅当17m，S取到最大值．综上，所求直线l方程为322720xy．22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。（Ⅰ）（i）22'()12212()6bfxaxbaxa当0b时，有'()0fx，此时()fx在[0,)上单调递增所以当01x时，max3,2()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2abbafxffabababaabba（ii）由于01x，故当2ba时，333()|2|()34224422(221)fxabafxabaxbxaaxaxaaxx当2ba时，333(