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．4D．专题一：轨迹1.如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（）A．B．22.如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（）A．（+）πB．（+）πC．2πD．π3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（）A．B．C．2πD．4.如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为（）A．3B．2C．3D．35.如图，AB为⊙O的直径，且AB＝8，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，PBC上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，M是△OPE的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长（）A．B．2C．πD．π6.如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是（）A．2πB．3πC．4πD．5π7.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4），点C是x轴上一个动点，过点B作直线BH⊥AC于点H，过点C作CD∥y轴，交BH于点D，点C在x轴上运动的过程中，点D不可能经过的点是（）A．（2，﹣3）B．（1，﹣3）C．（4，0）D．（0，﹣4）8.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6cm，将△ABC绕着点B顺时针旋转至△A′BC′的位置，且A、B、C′三点在同一条直线上，则点C经过的路线的长度是（）A．12cmB．C．D．9.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A．πB．πC．πD．π10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB、BC上，AE＝BF＝1，动点P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P第一次回到点E时，动点P所经过的路程长为（）A．4B．8C．8D．811.正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C12.如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．πB．13πC．πD．14π13.如图，抛物线y＝﹣x2+x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D（0，2）出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为（）A．B．8C．7D．9C．D．14.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）15.如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝6．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与边BC相切（点O在□ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（）A．4B．6C．7﹣D．10﹣216.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（）A．B．C．D．π17．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB，取线段AB的中点H，当点P从点O运动到点N时，点H运动的路径长是（）A．2B．1C．D．18．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝24，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）A．8πB．18C．πD．3620.如图，四边形ABCD是正方形，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度分别在边DC、CB上移动，当点E运动到点C时都停止运动，DF与AE相交于点P，若AD＝8，则点P运动的路径长为（）A．8B．4C．4πD．2π21.如图，矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F为⊙O与射线BD的公共点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交⊙O于点G，当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动，则在运动过程中点G移动路程的长为（）A．4cmB．cmC．cmD．cm22.如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA＝6cm，且OA垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）A．10πcmB．20πcmC．24πcmD．30πcm23.如图，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是．25.如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，（1）正方形AMNP和正方形BRQP的面积之和的最大值是；（2）E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．26.如图，边长为20厘米的正方形木块在水平桌面上，距离C点40厘米的E处有一与水平方向成30°角的斜置木板，木板长度为1米．现将正方形木块水平向右无滑动翻滚，若使正方形木块AB边完全落在木板上，则正方形的中心点O经过的路径长为．27.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为．28.正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径长为．A．B．C．1D．229.如图，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为．30.如图，⊙O的半径为1，⊙O沿着边长为4的正方形ABCD的外边缘滚动一圈，则圆心O的运动路径长为．31.已知正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连结AP，过点B作BH⊥AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是．32.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边AD上一点，且ED＝AD，点F在AB上且从点B向点A运动，连接EF并延长交CD的延长线于点G，过点E作EH⊥FG，交BC的延长线于点H，点O是EH的中点，则点O的运动路径长为．33.如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，连接AQ，当点P从B点运动到C点时，线段AQ的中点所经过的路径长为．35.如图，正方形ABCD边长为a，正方形BEFG边长为b，A、B、E在同一直线上，两个正方形在同侧，连AG与DF交于P．（1）如a＝2，b＝1，则DF＝；（2）如a＝2，b是一个变量，在b的变化过程中，动点P运动的路径为．36.如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段PQ的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点P沿A→B→C→D滑动到点D终止，在整个滑动过程中，PQ的中点R所经过的路线长为．37.如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为．38.如图，线段AB上有C、D两点，AB＝6，AC＝BD＝1，点P是线段CD上的一个动点，分别以PA、PB为斜边在线段AB的同侧作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP，连接MN，当点P从点C运动到点D的过程中，△PMN的外接圆圆心经过的路程是．39.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为．40.已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l，已知半圆的直径为2m，则圆心O所终过的路线长是．参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2017•沭阳县校级模拟）如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（）A.B．2C．D．【分析】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，由△EBF≌△DBC，推出点E在AB的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△EBD是等边三角形，∴BE＝BD，∠EBD＝60°，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBF＝∠DBC，在△EBF和△DBC中，，∴△EBF≌△DBC，∴BF＝BC，EF＝CD，∵∠FBC＝60°，∴△BFC是等边三角形，∴CF＝BF＝BC，∵BC＝AB，∴BF＝AB，∴AF＝FB，∴点E在AB的垂直平分线上，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为2故选：B．【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线，属于中考常考题型．2．（2018秋•辽源期末）如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B1C2的位置，设AB＝，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为（）A．（+）πB．（+）πC．2πD．π【分析】A点所经过的弧长有两段，①以C为圆心，CA长为半径，∠ACA1为圆心角的弧长；②以B1为圆心，AB长为半径，∠A1B1A2为圆心角的弧长．分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，AC＝2；由分析知：点A经过的路程是由两段弧长所构成的：①A～A1段的弧长：L1＝＝，②A1～A2段的弧长：L2＝＝，∴点A所经过的路线为（+）π，故选：A．【点评】本题考查的是弧长的计算，30度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答．3．（2017秋•温州期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（）A．B．C．2πD．【分析】根据三角形的内角和得到