2013年高考新课标I卷理科数学试题及答案(word解析版)

-1-2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标（1）理科数学（完整解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则()A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R,故选B.2、若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A、－4（B）－45（C）4（D）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z=|43|34ii=2243(34)(34)(34)iii=3455i，故z的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A、y=±14x（B）y=±13x（C）y=±12x（D）y=±x-2-【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，∴22ba=14，∴ba=12，∴C的渐近线方程为12yx，故选C.5、执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于()A、[－3,4]B、[－5,2]C、[－4,3]D、[－2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t时，3st[3,3)，当[1,3]t时，24stt[3,4]，∴输出s属于[-3,4]，故选A.6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A、500π3cm3B、866π3cm3C、1372π3cm3D、2048π3cm3开始输入tt1s=3ts=4t－t2输出s结束是否-3-【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4RR，解得R=5，∴球的体积为3453=500π33cm，故选A.7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A、3B、4C、5D、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知mS=1()2mmaa=0，∴1a=－ma=－（mS-1mS）=－2，1ma=1mS-mS=3，∴公差d=1ma-ma=1，∴3=1ma=－2m，∴m=5，故选C.8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为()A、16+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边侧视图俯视图44422242主视图-4-放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222=168，故选A.9、设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a=2mmC，b=121mmC，∴132mmC=7121mmC，即13(2)!!!mmm=7(21)!(1)!!mmm，解得m=6，故选B.10、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A、x245＋y236＝1B、x236＋y227＝1C、x227＋y218＝1D、x218＋y29＝1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则12xx=2，12yy=－2，2211221xyab①2222221xyab②①－②得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0131=12，∴22ba=12，又9=2c=22ab，解得2b=9，2a=18，∴椭圆方程为221189xy，故选D.11、已知函数f(x)＝－x2＋2xx≤0ln(x＋1)x＞0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A、（－∞，0]B、（－∞，1]C、[－2，1]D、[－2，0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】∵|()fx|=22,0ln(1),0xxxxx，∴由|()fx|≥ax得，202xxxax且-5-0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a=1时，易证ln(1)xx对0x恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【命题意图】本题主要考查由递推公式求通项公式，三角形面积海伦公式，属于难题【解析】B1111111111202baccaccac且b111111111120baacaacbac11111111111222abcaaccacac又111111112(2)22nnnnnnnnbccabcabca由题意，b1120222nnnnnnnnbcabcaabca11111112(2)22nnnnnnnnncbabbbcbabab又由题意，111111111()()()22nnnnbaabbaba11111111111()(),2()()22nnnnnbabacababa21111111111111333311()()()()()222222nnnaaaaSaabaaba222122111111131()()()0)4444naaababa单调递增（可证当n=1时第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。-6-13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】bc=[(1)]ttbab=2(1)ttabb=112tt=112t=0，解得t=2.14、若数列{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.【解析】当n=1时，1a=1S=12133a，解得1a=1，当n≥2时，na=1nnSS=2133na－(12133na)=12233nnaa，即na=12na，∴{na}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴na=1(2)n.15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______【解析】∵()fx=sin2cosxx=5255(sincos)55xx令cos=55，25sin5，则()fx=5(sincossincos)xx=5sin()x，当x=2,2kkz，即x=2,2kkz时，()fx取最大值，此时=2,2kkz，∴cos=cos(2)2k=sin=255.本题还可用反三角函数理解，求解。16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()fx图像关于直线x=－2对称，则0=(1)(3)ff=22[1(3)][(3)3]ab，0=(1)(5)ff=22[1(5)][(5)5]ab，解得a=8，b=15，∴()fx=22(1)(815)xxx，∴()fx=222(815)(1)(28)xxxxx=324(672)xxx=4(2)(25)(25)xxx当x∈(－∞,25)∪(－2,25)时，()fx＞0，-7-当x∈(25,－2)∪(25,+∞)时，()fx＜0，∴()fx在（－∞，25）单调递增，在（25，－2）单调递减，在（－2，25）单调递增，在（25，+∞）单调递减，故当x=25和x=25时取极大值，(25)f=(25)f=16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74，∴PA=72；（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，∴tan=34，∴tanPBA=34.18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;ABCP-8-（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象