2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

新课导入平面向量的数量积可以表示为：ab=abcosθ已知：1122a=(x,y),b=(x,y)求：a+b,a-b,ab.对于两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,即：1212a+b=(x+x,y+y)1212a-b=(x-x,y-y)那么怎样用和的坐标表示呢？babaθOabAB预习课本P106～107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？jj____.ijji____.如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，ijxijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)ii____.1101、平面向量数量积的坐标表示设两个非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),则ab1122112222121221121212a=xi+yj,b=xi+yj,ab=(xi+yj)(xi+yj)=xxi+xyij+xyij+yyj=xx+yy1122112222121221121212a=xi+yj,b=xi+yj,ab=(xi+yj)(xi+yj)=xxi+xyij+xyij+yyj=xx+yy1122112222121221121212a=xi+yj,b=xi+yj,ab=(xi+yj)(xi+yj)=xxi+xyij+xyij+yyj=xx+yy1122112222121221121212a=xi+yj,b=xi+yj,ab=(xi+yj)(xi+yj)=xxi+xyij+xyij+yyj=xx+yy这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。1212ab=xx+yy.根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。xijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)即或；2(1)aa=aa=aa则或；（）（、（（222221122221212(1)a=(x,y),a=x+y,a=x+y2aAx,y)B(x,y),AB=x-x)+y-y)向量的模若两点间的距离公式如果表示向量的起点和终点坐标分别为则2、向量的模和两点间的距离公式abab=0（1）垂直（11221212a=x,y),b=(x,y),abxx+yy=0设则3、两向量垂直和平行的坐标表示（11221221a=x,y),b=(x,y),a//bxy-xy=0.若则（2）平行4、两向量夹角公式的坐标运算（），ooabθ0θ180abcosθ=ab设与的夹角为则（，，1122oo12122222112222221122a=x,y),b=(x,y),abθxx+yy(0θ180)cosθ=.x+yx+yx+y0x+y0.设且与夹角为则其中[小问题·大思维]1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？提示：∵a0＝±a|a|＝±1x2＋y2(x，y)，∴a0＝(－xx2＋y2，－yx2＋y2)或a0＝(xx2＋y2，yx2＋y2)．2．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？提示：向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ(θ为向量a与b的夹角)，而cosθ＝a·b|a||b|，∴|a|cosθ＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.[研一题][例1]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.[自主解答]法一：(1)∵2a＝2(1,3)＝(2,6)，b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.[例1]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.法二：(1)2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.[例1]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.(2)(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.[通一类]解：设b＝(x，y)，则由|b|＝1可得x2＋y2＝1.①由a·b＝5，a＝(4，－3)，可得4x－3y＝5.②联立①②，解得x＝45，y＝－35，故b＝(45，－35)．法二：由于a＝(4，－3)，∴|a|＝5，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1，∴θ＝0°，从而a，b同向且共线，又|b|＝1，∴b＝a|a|＝15(4，－3)＝(45，－35).1．若向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，求向量b.[研一题][例2]平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)、B(－5,15)．(1)求|OA|，|AB|；(2)求∠OAB.[自主解答](1)由OA＝(16,12)，AB＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA|＝162＋122＝20，|AB|＝－212＋32＝152.[自主解答](1)由OA＝(16,12)，AB＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA|＝162＋122＝20，|AB|＝－212＋32＝152.[自主解答](1)由OA＝(16,12)，AB＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA|＝162＋122＝20，|AB|＝－212＋32＝152.[自主解答](1)由OA＝(16,12)，AB＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA|＝162＋122＝20，|AB|＝－212＋32＝152.[例2]平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)、B(－5,15)．(2)求∠OAB.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.(2)cos∠OAB＝cos〈AO，AB〉＝AO·AB|AO||AB|.其中AO·AB＝－OA·AB＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝30020×152＝22.∴∠OAB＝45°.[活学活用]已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________．解析：2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ)，|2a－b|＝2cosθ－32＋2sinθ2＝4cos2θ－43cosθ＋3＋4sin2θ＝7－43cosθ，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋3.答案：2＋3[活学活用](1)若向量a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．(2)若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．[尝试解答](1)∵a＝(2x－1，3－x)，b＝(1－x，2x－1)，∴a－b＝(2x－1，3－x)－(1－x，2x－1)＝(3x－2，4－3x)，∴|a－b|＝（3x－2）2＋（4－3x）2＝18x2－36x＋20＝18（x－1）2＋2.∴当x＝1时，|a－b|取最小值为2.(2)①∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝42＋（－3）2＝5.②与a平行的单位向量是±a|a|＝±15(4，－3)，即坐标为45，－35或－45，35.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝34.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得m＝35，n＝45，或m＝－35，n＝－45，∴e＝35，45或－35，－45.[通一类]2．已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665解析：b＝(2a＋b)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)，cosθ＝a·b|a||b|＝1665.答案：C[研一题][例3]已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，如图，求D点及AD的坐标．[自主解答]设D(x，y)，∴AD＝(x－2，y＋1)，又BC＝(－6，－3)，AD·BC＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y＝3.①[自主解答]设D(x，y)，∴AD＝(x－2，y＋1)，又BC＝(－6，－3)，AD·BC＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y＝3.①[自主解答]设D(x，y)，∴AD＝(x－2，y＋1)，又BC＝(－6，－3)，AD·BC＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y＝3.①[自主解答]设D(x，y)，∴AD＝(x－2，y＋1)，又BC＝(－6，－3)，AD·BC＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y＝3.①又BD与BC为共线向量，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)，∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即x－2y＝－1.②联立①②，解得x＝1，y＝1.∴D(1,1)，AD＝(－1,2)．又BD与BC为共线向量，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)，∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即x－2y＝－1.②联立①②，解得x＝1，y＝1.∴D(1,1)，AD＝(－1,2)．又BD与BC为共线向量，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)，∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即x－2y＝－1.②联立①②，解得x＝1，y＝1.∴D(1,1)，AD＝(－1,2)．又BD与BC为共线向量，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)，∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即x－2y＝－1.②联立①②，解得x＝1，y＝1.∴D(1,1)，AD＝(－1,2)．又BD与BC为共线向量，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)，∴－3(x－3)＋6(y－2)＝0，即x－2y＝－1.②联立①②，解得x＝1，y＝1.∴D(1,1)，AD＝(－1,2)．[例3]已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，如图，求D点及AD的坐标．[活学活用]已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°.(2)a与b的夹角为锐角．解：(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝12＋22＝5，|b|＝1