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12.4二项分布与正态分布第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-2-知识梳理双基自测23141.条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B,C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数,则P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).P(B|A)+P(C|A)第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测23142.事件的相互独立性(1)定义:设A,B为两个事件,若P(AB)=,则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=,P(A|B)=P(A),P(AB)=.③如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=.②如果事件A与B相互独立,那么A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也相互独立.P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(A1)P(A2)…P(An)第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测23143.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次试验之间相互独立的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=,此时称随机变量X服从,记作,并称p为成功概率.C𝑛𝑘pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)二项分布X~B(n,p)第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测23144.正态分布(1)正态曲线:函数其中实数μ和σ(σ0)为参数.我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线在x轴的上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;④曲线与x轴之间的面积为1;⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.φμ,σ(x)=12π𝜎e-(𝑥-𝜇)22𝜎2,x∈(-∞,+∞),③曲线在x=μ处达到峰值1𝜎2π;第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-6-知识梳理双基自测2314(3)正态分布的定义及表示:若对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足,则称随机变量X服从正态分布,记作.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σX≤μ+σ)=;②P(μ-2σX≤μ+2σ)=;③P(μ-3σX≤μ+3σ)=.P(aX≤b)=𝑏𝑎φμ,σ(x)dxX~N(μ,σ2)0.68270.95450.9973第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理2-7-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√1.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()(2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.()(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.()(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).()(5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.()第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭第一次摸到红球,还剩2红5黑共7个小球,所以再摸到红球的概率为27.答案解析关闭B2.袋中有3红5黑共8个大小形状相同的小球,不放回地依次从中摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为()A.38B.27C.14D.37第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.(2016河南焦作二模)某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是()A.710B.67C.47D.27答案解析解析关闭设“某次射中”为事件A,“随后一次射中”为事件B,则P(AB)=0.4,P(A)=0.7,故P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=47,故选C.答案解析关闭C第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A.12125B.16125C.48125D.96125答案解析解析关闭用X表示发芽的粒数,独立重复试验服从二项分布B3,45,P(X=2)=C32452·151=48125.答案解析关闭C第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为.(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σξμ+σ)=68.3%,P(μ-2σξμ+2σ)=95.4%.)答案解析解析关闭由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为𝑃(𝜇-2𝜎𝜉𝜇+2𝜎)-𝑃(𝜇-𝜎𝜉𝜇+𝜎)2=95.4%-68.3%2=13.55%.答案解析关闭13.55%第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-12-考点1考点2考点3考点4考点1条件概率例1(1)把一枚质地均匀硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)等于()(2)(2016河南平顶山高三期末)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于()思考求条件概率有哪些基本的方法?A.12B.14C.16D.18A.18B.14C.25D.12答案解析解析关闭(1)由古典概型知P(A)=12,P(AB)=14,则由条件概率知P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=1412=12.(2)(方法一)P(A)=C32+C22C52=410=25,P(AB)=C22C52=110.由条件概率计算公式,得P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=110410=14.(方法二)n(A)=C32+C22=4,n(AB)=1,∴P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=14.答案解析关闭(1)A(2)B第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-13-考点1考点2考点3考点4解题心得求条件概率的基本方法有两个:(1)定义法,先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),求P(B|A).(2)基本事件法,借古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(2016湖南永州三模)袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球,不放回地摸出2个球,设“第一次摸出红球”为事件A,“摸得的2个球同色”为事件B,则概率P(B|A)为()(2)盒中有红球5个,蓝球11个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球.现从中任取一球,假设每个球被取到的可能性相同.若取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为.A.14B.12C.13D.34答案解析解析关闭(1)由题意,得P(A)=25,P(AB)=25×14=110,故P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=14.(2)记“取到蓝球”为事件A,“取到玻璃球”为事件B,则已知取到的球为玻璃球,它是蓝球的概率就是在B发生的条件下A发生的条件概率,记作P(A|B).因为P(AB)=416=14,P(B)=616=38,所以P(A|B)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=1438=23.答案解析关闭(1)A(2)23第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-15-考点1考点2考点3考点4考点2相互独立事件同时发生的概率例2(2016北京,理16)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-16-考点1考点2考点3考点4(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)思考如何求复杂事件的概率?求相互独立事件同时发生的概率有哪些常用的方法?第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点4解(1)由题意知,在抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,…,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点4设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=38.(3)μ1μ0.第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.第十二章12.4二项分布与正态分布知识梳理核心考点核心考点-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.作物产量/千克300500概率0.50.5作物市场价