§22.1.1数列的极限

§22.1数列的极限一复习回顾:数列的定义【定义】按一定次序排列的一列数叫做数列.123,,,,,naaaanN，简记为{}na.【例如】;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭.……二、情境引入1：假设原棰长为1，第n天剩余的棰长记为na（1）试写出数列的前5项.{}na（2）随着n的无限增大，的变化趋势是什么？nanb0814183218543871x1nanb02143871234nn从1的左侧无限趋近1是什么？的变化趋势分别和的无限增大，随着项数nnban0814183218543871xna从0的右侧无限趋近0表示的点的变化趋势和nnba121n1211n0-13121，，，，n1013101310132（1），，，，，1433221nn（2），，，，２，nn)1(3111（3）分析当n无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征:na..............共同特性：不论这些变化趋势如何，随着项数n的无限增大，数列的项无限地趋近于常数ana3递减无限趋近1递增无限趋近0无限趋近摆动n趋向于无穷大aannlim数列极限的描述性定义na（1）是无穷数列n（2）无限增大时，不是一般地趋近于，而是naa“无限”地趋近于a（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的读作“当n趋向于无穷大时，的极限等于a”na或“limit当n趋向于无穷大时等于a”nana一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数，nnaa那么就说数列以naaana是数列的极限为极限，或者说()naan例1、观察下面数列的变化趋势，写出它们的极限.2nan（1）12nan（2）13nna（3）2na（4）n12345……………2nan232425012nan122123124125213nna1319127181124302na22-1-2-2-2-2-221解：列表考察这4个数列的前5项及当n→∞时的变化趋势根据上表中各数列的变化趋势以及数列极限的定义可知：2lim0nn1lim(2)2nn1lim03nnlim(2)2n（1）（2）（3）（4）[课堂练习1]：0021limnn111limnnn00)1(limnnn例2、求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．解：这个无穷数列的各项都是-1，当项数n无限增大时，数列的项始终保持同一个值-1，因此na.1)1(limn一般地，任何一个常数数列的极限都是这个常数本身，即CCnlim（C是常数）例3、用计算器计算,99.01000,99.05000,99.020000,99.010000由此猜想数列的极限（保留两位有效数字）．}99.0{n解：由计算器可算得51000103.499.0225000105.199.04410000102.299.08820000101.599.0由此猜想099.0limnn一般地，如果，那么1||a.0limnna)(lim)2(是常数CCnnn1lim)1(0C,)3(时当1a0limnan01lim1111nnaaaaa不存在或[观察思考]：考察以下数列的变化趋势(1)(2)(5)(4)(3)010无无