高中数学复习选修2-3-第二章-随机变量及其分布-章末总结-阶段复习课

点击进入相应模块第二章章末总结/阶段复习课点击进入相应模块一、离散型随机变量的分布列、均值、方差1.离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下：点击进入相应模块此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.(2)性质：①pi≥0,i=1,2,3,…，n；②(3)表示：①表格法；②解析法P(X=xi)=pi,i=1,2,…，n；③图象法.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnnii1p1.点击进入相应模块2.离散型随机变量的均值(1)定义：由1(1)可知，E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn.(2)性质：E(aX+b)=aE(X)+b.3.离散型随机变量的方差(1)定义：由1(1)可知，D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn.(2)性质：D(aX+b)=a2D(X).点击进入相应模块【辨析】1.关于离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望是在大量现象中呈现出来的加权平均值，并不是某次试验的结果，在一次试验中的结果与随机变量的数学期望有较大的差异.2.关于离散型随机变量的方差、标准差(1)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性与波动，集中与离散的程度，D(X)(或)越小，稳定性越高，波动越小，显然D(X)≥0(≥0).D(X)D(X)点击进入相应模块(2)随机变量的方差与样本方差的关系样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数(量)而非变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.点击进入相应模块二、四种常见分布1.两点分布若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.X01P1-pp点击进入相应模块【辨析】关于两点分布的几点认识(1)两点分布研究的是只有两个可能结果的随机试验的概率分布规律.(2)两点分布研究的是某一随机事件是否发生的概率分布规律.(3)两点分布中随机变量的取值为0,1,如分布列不服从两点分布.X12P0.40.6点击进入相应模块2.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,即knkMNMnNCCCX01…mP…0n0MNMnNCCC1n1MNMnNCCCmnmMNMnNCCC点击进入相应模块其中m=min{M,n}，且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.说明：超几何分布解决的问题涉及的背景往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等.点击进入相应模块3.二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p),并称p为成功概率.nkkknCp1pk0,1,2,,n.，点击进入相应模块4.正态分布(1)定义：如果对于任何实数a,b(a＜b),随机变量X满足P(aX≤b)=则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ,σ2).b,axdx,点击进入相应模块(2)正态曲线的特征：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；③曲线在x=μ处达到峰值④曲线与x轴之间的面积为1；1;2点击进入相应模块⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,如图②.点击进入相应模块(3)3σ原则：正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544;P(μ-3σX≤μ+3σ)=0.9974.点击进入相应模块三、两种概率计算1.条件概率概念设A,B为两个事件,且P(A)＞0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.性质(1)P(B|A)∈［0,1］.(2)如果B,C为互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).PABP(A)点击进入相应模块2.事件的相互独立性概念设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.性质若事件A，B独立，则A与，与B，与也是相互独立事件.BAAB点击进入相应模块四、两类特殊分布的均值与方差XX服从两点分布X～B(n,p)E(X)p(其中p为成功概率)npD(X)p(1-p)(其中p为成功概率)np(1-p)点击进入相应模块【备选答案】A.方差B.超几何分布C.均值D.正态分布E.两事件独立F.3σ原则ACDBEF点击进入相应模块条件概率【技法点拨】条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用或求解.(2)缩小样本空间法：利用求解.其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.PABPA|BP(B)PABPB|AP(A)nABPB|An(A)点击进入相应模块【典例1】(1)6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是_____．(2)设某种动物从出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_____.【解析】(1)甲同学排在第一跑道后，还剩5个跑道，则乙排在第二跑道的概率为.答案：1515点击进入相应模块(2)设A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”，则P(A)=0.8，P(B)=0.4，而所求概率为P(B|A).∵B⊆A,∴P(AB)=P(B),∴所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.答案：0.5PABPBPB|A0.5PAPA，点击进入相应模块【总结】题(1)(2)的求解有何差异？如何理解题(2)中“活到25岁的概率为0.4”?提示：(1)对于题(1)的求解，可采用两种计算方法，对于题(2)的求解，只能采用定义法.题(2)中“活到25岁的概率为0.4”是事件：A=“能活到20岁”，B=“能活到25岁”同时发生的概率.点击进入相应模块相互独立事件同时发生的概率【技法点拨】求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.PAB1P(AB)点击进入相应模块【典例2】在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为，求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)恰有2人通过体能测试的概率；(3)恰有1人通过体能测试的概率．231543，，点击进入相应模块【解析】设A表示事件“甲通过体能测试”，B表示事件“乙通过体能测试”，C表示事件“丙通过体能测试”．由题意有：(1)设M1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC.由事件A，B，C相互独立，可得：P(M1)＝P(ABC)＝231PAPBPC.543＝，＝，＝2311PAPBPC.54310＝＝点击进入相应模块(2)设M2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝由于事件A，B，C彼此相互独立，则也相互独立，并且事件两两互斥，因此所求概率为P(M2)＝ABCABCABC＋＋，ABC，，ABCABCABC，，PAPBPCPAPBPC＋231231231PAPBP(C)(1)(1)1.54354354323＋＋＋()＝60点击进入相应模块(3)设M3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3＝由于事件A，B，C，均相互独立，并且事件两两互斥，因此所求概率为P(M3)＝231231231(1)(1)(11(1).543543543125＋(1-))＋()＝ABCABCABC＋＋，ABC，ABCABC，PAPBPCPAPBPCPAPBP(C)＋＋ABC，，点击进入相应模块【总结】解答本题的注意点及用到的概率公式.提示：(1)解答本题的注意点是正确表达题(1)(2)(3)的含义.(2)用到的概率公式有相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式.正确应用相应事件的概率公式解题是求解此类问题的关键.点击进入相应模块四种常见的分布【技法点拨】四种常见的分布及解题策略(1)四种常见的分布：①超几何分布，②两点分布，③二项分布，④正态分布.(2)四种常见的分布求解策略①超几何分布的求解，常常借助排列组合及古典概型的知识求解.点击进入相应模块②两点分布及二项分布的求解，由于两点分布是特殊的二项分布，求解时可直接套用公式求解.③正态分布的概率问题，常采用数形结合的思想求解.点击进入相应模块【典例3】(2012·郑州模拟)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列.17，点击进入相应模块【解析】(1)设袋中原有n个白球，由题意知：所以n(n-1)=6，解得n=3(舍去n=-2)，即袋中原有3个白球.(2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，5.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=2n27nn1nn1C12,767C7623;7432;7674336;76535点击进入相应模块P(X=4)=P(X=5)=所以，取球次数X的分布列为：43233;765435432131.7654335X12345P3727635335135点击进入相应模块【总结】求解本题的关键及求解分布列的步骤.提示：(1)求解本题的关键是理解以下两点：一是“甲先取，乙后取”；二是“取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止”.(2)求解分布列的步骤：一是列出随机变量的所有取值；二是求出随机变量取每一个值的概率；三是列分布列表.点击进入相应模块均值、方差的应用【技法点拨】均值、方差的应用(1)含义：均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性.(2)应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.点击进入相应模块(3)求解思路：应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质.点击进入相应模块【典例4】由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？ξ1(甲得分)012P0.20.50.3ξ2(乙得分)012P0.30.20.5点击进入相应模块【解析】E(ξ1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,E(ξ2)=0×0.3+1×0.2+2×0.5=1.2,∴E(ξ1)E(ξ2).所以乙运动员的技术好一些，应选乙参加比赛.点击进入相应模块【总结】求解此类问题的思想及方法.提示：(1)