数列极限的概念(经典课件)

第二章数列极限引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。§１数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的N定义证明数列的有关命题，并能运用N语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：数列极限的概念。教学难点：数列极限的N定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称:fNR或Nnnf),(为数列。若记()nfna，则数列nnnf,2,1),(就可写作为：12,,,,naaa，简记为na，其中na称为该数列的通项。２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,,234nn；（2）11111:2,1,1,1,435n（3）2:1,4,9,16,25,n；（4）11(1):2,0,2,0,2,n二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12，第２天截下2111222，第３天截下23111222，…，第n天截下1111222nn，…得到一个数列：n21：231111,,,,,2222n不难看出，数列12n的通项12n随着n的无限增大而无限地接近于零。一般地说，对于数列na，若当n无限增大时，na能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。据此可以说，数列12n是收敛数列，０是它的极限。数列21,1(1)nn都是发散的数列。需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。以11n为例，可观察出该数列具以下特性：随着n的无限增大，11nan无限地接近于1随着n的无限增大，11n与１的距离无限减少随着n的无限增大，1|11|n无限减少1|11|n会任意小，只要n充分大。如：要使1|11|0.1n，只要10n即可；要使1|11|0.01n，只要100n即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项Na，从该项之后()nN，1|11|n。即0,N，当nN时，1|11|n。如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n，取1[]1N即可。这样0,当nN时，111|11|nnN。综上所述，数列11n的通项11n随n的无限增大，11n无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当nN时，有1|11|n。此即11n以１为极限的精确定义。2．数列极限的定义：定义1设na为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有||naa,则称数列na收敛于a,实数a称为数列na的极限,并记作limnnaa或()naan.读作：当n趋于无穷大时,na的极限等于a或na趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n写成n,即limnnaa或()naan.若数列na没有极限，则称na不收敛，或称na为发散数列。３．举例说明如何用N定义来验证数列极限：例１．证明为正数。这里,01limnn证明：0，111N，则当Nn时，便有Nnn1101，所以.01limnn（注：这里取整保证N为非负整数；1保证N为正整数。）例２．证明lim0(||1)nnqq.证明：0（不妨设1），qNlglg，则当Nn时，便有nnqq0，所以lim0(||1)nnqq.(注：这里限制1保证N为正数，但这并不影响证明过程；N并不一定是整数。)例３．证明321lim097nnn.证明：0，12N，则当Nn时，便有233322791207912nnnnnnn，所以321lim097nnn.例４．证明223lim33nnn.证明:由于)3(939333222nnnnn，因此，0，9,3maxN，则当Nn时，便有33322nn，所以223lim33nnn.例５．证明lim1nna，其中0a.证明：当1a时，结论显然成立.现设1a，记11na，则0.由)1(11)1(1nnanna得naan111于是，0，1aN，则当Nn时，便有1na，所以lim1nna.对于10a的情形，留作练习。４．关于数列的极限的N定义的几点说明：（１）关于：①的任意性。定义１中的正数的作用在于衡量数列通项na与常数a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明na与常数a可以接近到任何程度；②的暂时固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么2,3,2等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||naa中的可用2,3,2等来代替。从而“||naa”可用“||naa”代替；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。（２）关于Ｎ：①相应性，一般地，Ｎ随的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N，来强调Ｎ是依赖于的；一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由唯一确定的，因为对给定的，若100N时能使得当nN时,有||naa,则101N或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“nN”改为“nN”也无妨。③N的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数N如果存在，比N大的任何正整数必能使条件成立。（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当nN时有||naa”“当nN时有naaa”“当nN时有,(;)naaaUa”所有下标大于Ｎ的项na都落在邻域(;)Ua内；而在(;)Ua之外，数列na中的项至多只有Ｎ个（有限个）。反之，任给0，若在(;)Ua之外数列na中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当nN时有(;)naUa，即当nN时有||naa，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：定义1任给0，若在(;)Ua之外数列na中的项只有有限个，则称数列na收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00，使得数列na中有无穷多个项落在0(;)Ua之外，则na一定不以a为极限；２）应该注意，任给0，若在(;)Ua内数列na中的项有无限多个，并不能说明数列na收敛于极限a。例6.证明2n和(1)n都是发散数列。分析：即证数列不以任何Ra为极限，利用定义'1。证明：Ra，取10，则数列2n中所有满足1an的项（有无穷多个）显然都在);(0aU之外，故2n不以任何Ra为极限，即数列2n是发散数列。取1a，10，则在);(0aU之外有(1)n中所有奇数项（无穷多项），故(1)n不以1为极限；对1a，取1210a，则在);(0aU之外有(1)n中所有偶数项（无穷多项），故(1)n不以1a为极限。从而(1)n不以任何Ra为极限，即(1)n是发散数列。例7.设limlimnnnnxya，作数列如下：1122:,,,,,,,nnnzxyxyxy.证明limnnza.证明：因limlimnnnnxya，故0，数列nx和ny在);(aU之外的项都至多只有有限个，所以数列nz中落在);(aU之外的项至多只有有限个，从而limnnza。例8.设na为给定的数列，nb为对na增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列nb与na同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。证明：设na为收敛数列，且aannlim，故0，数列na中落在);(aU之外的项至多只有有限个，而数列nb为对na增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故从某一项开始，nb中的每一项都是na中确定的一项，所以nb中落在);(aU之外的项至多只有有限个，这就证得数列nb收敛，且有abnnlim。现设na为发散数列，倘若nb收敛，则因na可看成是对nb增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由前面证明可知na为收敛数列，矛盾，所以当na发散时nb也发散。三、无穷小数列：在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义２若lim0nna，则称na为无穷小数列。如1211(1)1,,,2nnnnn都是无穷小数列。定理２.１数列na收敛于a的充要条件是：naa为无穷小数列。证明：由数列极限的N定义容易证明。