第二章-《随机变量及其分布》练习题

1第二章《随机变量及其分布》练习题一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A．34B．38C．13D．142．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A．13B．25C．56D．343．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.284．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.66．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：ξ012P715715115且η＝2ξ＋3，则E(η)等于()A.35B.65C.215D.1257．随机变量ξ的分布列为ξ123P0.20.5m则ξ的数学期望是()A．2B．2.1C．2.3D．随m的变化而变化8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B5，14，则E(－ξ)的值为()A.14B．－14C.54D．－549．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8B．8C．16D．15.610．设随机变量ξ的分布列如下表：ξ0123P0.1ab0.1且E(ξ)＝1.6，则a－b等于()A．0.2B．0.1C．－0.2D．－0.411．设一随机试验的结果只有A和A且P(A)＝m，令随机变量ξ＝1，A发生0，A不发生，则ξ的方差D(ξ)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)212．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：ξ1(甲得分)012P(ξ1＝xi)0.20.50.3ξ2(乙得分)012P(ξ2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好()A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.614.随机变量X的分布列如下：X123P0.5xy若E(X)＝158，则D(X)等于()A.732B.932C.3364D.556415．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．无法计算16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为()A．0.9B．0.8C．1.2D．1.117.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8B．8C．16D．15.6二、填空题1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的期望为________．2．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)＝________.3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.4.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.ξ200300400500P0.200.350.300.15三、解答题31．某师范大学志愿者支教团体有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学系，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个系．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自互不相同的系的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击一次命中的概率为23，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试．(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．3．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢4迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．4.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．第二章《随机变量及其分布》练习题5一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A．34B．38C．13D．14[解析]抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C23122×12＝38.2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A．13B．25C．56D．34[解析]事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13，3．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.28[解析]∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝k)＝Ck100.8k(1－0.8)10－k，∴P(X＝8)＝C8100.88·0.22，故选A．4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)[解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.[答案]B5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6[解析]∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.[答案]B6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：ξ012P715715115且η＝2ξ＋3，则E(η)等于()A.35B.65C.215D.125解析：E(ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35，E(η)＝E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝2×35＋3＝215.答案：C7．随机变量ξ的分布列为ξ123P0.20.5m则ξ的数学期望是()A．2B．2.1C．2.3D．随m的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B5，14，则E(－ξ)的值为()A.14B．－14C.54D．－546解析：∵E(ξ)＝5×14＝54，∴E(－ξ)＝－E(ξ)＝－54，故选D.9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8B．8C．16D．15.6解析：X的取值为6,9,12，P(X＝6)＝C38C310＝715，P(X＝9)＝C28C12C310＝715，P(X＝12)＝C18C22C310＝115.E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.答案：A10．设随机变量ξ的分布列如下表：ξ0123P0.1ab0.1且E(ξ)＝1.6，则a－b等于()A．0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析：根据题意，0.1＋a＋b＋0.1＝1，0×0.1＋a＋2×b＋3×0.1＝1.6，解得a＝0.3b＝0.5.所以a－b＝－0.2.答案C11．设一随机试验的结果只有A和A且P(A)＝m，令随机变量ξ＝1，A发生0，A不发生，则ξ的方差D(ξ)等于()A．mB．2m(1－m)C．m(m－1)D．m(1－m)解析：依题意ξ服从两点分布，∴D(ξ)＝m(1－m)，故选D.12．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：ξ1(甲得分)012P(ξ1＝xi)0.20.50.3ξ2(乙得分)012P(ξ2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，派哪位运动员参加较好()A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定解析：E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(ξ1)D(ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A.13．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8，∴η＝8－ξ.∴E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(ξ)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.答案：B14.随机变量X的分布列如下：X123P0.5xy若E(X)＝158，则D(X)等于()A.732B.932C.3364D.55647解析：由1×0.5＋2x＋3y＝158，0.5＋x＋y＝1，得x＝18，y＝38.所以D(X)＝1－1582×12＋2－1582×18＋3－1582×38＝5564.答案：D15．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝13，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．无法计算解析：由于分布列中，概率和为1，则a＋13＝1，a＝23.∵E(ξ)＝2，∴m3＋2n3＝2.∴m＝6－2n.∴D(ξ)＝13×(m－2)2＋23×(n－2)2＝23×(n－2)2＋13×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，D(ξ)取最小值0.答案：A16．某班举行了一次