平面向量应用举例练习题含答案

平面向量应用举例练习题一、选择题1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为()A．103NB．0NC．56ND.562N2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则x1＋y1x2＋y2的值为()A.23B．－23C.56D．－564．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．25．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.346．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)8．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→⊥OB→，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→，则mn＝()A.13B．3C．33D.332二、填空题9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝23，则OA→·OB→＝________.三、解答题11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．14．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？15．在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M，N，C三点共线．16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.平面向量应用举例参考答案1．[答案]C[解析]根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为2×53＝56(N)．2.[答案]B[解析]设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝v2－2v·v1＋v21＝100－0＋4＝104＝226.3．[答案]B[解析]因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－23x2，y1＝－23y2，所以x1＋y1x2＋y2＝－23(x2＋y2)x2＋y2＝－23，从而选B.4．[答案]D[解析]W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.5．[答案]C[解析]由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.6．[答案]C[解析]5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．7[答案]C[解析]由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．8．[答案]B[解析]∵OC→·OA→＝m|OA→|2＋nOA→·OB→＝m，OC→·OB→＝mOA→·OB→＋n·|OB→|2＝3n，∴m3n＝|OC→|·|OA→|·cos30°|OC→|·|OB→|·cos60°＝1，∴mn＝3.二、填空题9．[答案]λ－53且λ≠0[解析]∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)0，∴5＋3λ0，∴λ－53.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．∴1＋λ＝m2＋λ＝2m，得λ＝0m＝1，∴λ－53且λ≠0.10．[答案]－2[解析]∵|AB|＝23，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.∴OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos120°＝－2.三、解答题11．[证明]以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D0，a2，C(0,0)，E13a，23a.∴AD→＝－a，a2，CE→＝13a，23a.∵AD→·CE→＝－a·13a＋a2·23a＝0，∴AD⊥CE.12．[证明]如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC→＝(2，－2)设AF→＝λAC→，则BF→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA→＝(－1,2)由题设BF→⊥DA→，∴BF→·DA→＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23.∴BF→＝43，23，∴DF→＝BF→－BD→＝13，23，又DC→＝(1,0)，∴cos∠ADB＝DA→·DB→|DA→|·|DB→|＝55，cos∠FDC＝DF→·DC→|DF→|·|DC→|＝55，又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.13．[解析](1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42和210.(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.14．[解析]如图所示，设AC→为水流速度，AD→为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|DE→|＝|AC→|＝2，|AD→|＝4，∠AED＝90°.∴|AE→|＝|AD→|2－|DE→|2＝23，sin∠EAD＝12，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．15．[证明]MN→＝BN→－BM→.因为BM→＝12BA→，BN→＝13BD→＝13(BA→＋BC→)，所以MN→＝13BA→＋13BC→－12BA→，＝13BC→－16BA→.由于MC→＝BC→－BM→＝BC→－12BA→，可知MC→＝3MN→，即MC→∥MN→.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．16[分析]本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出PA→和EF→的坐标，证明其模相等即可．[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．设|DP→|＝λ(λ0)，则F22λ，0，P22λ，22λ，Ea，22λ，所以EF→＝22λ－a，－22λ，PA→＝－22λ，a－22λ，因为|EF→|2＝λ2－2aλ＋a2，|PA→|2＝λ2－2aλ＋a2，所以|EF→|＝|PA→|，即PA＝EF.17．[证明]∵AB＝AC，且D是BC的中点，∴AD→⊥BC→，∴AD→·BD→＝0.又DE→⊥AC→，∴DE→·AE→＝0.∵BD→＝DC→，F是DE的中点，∴EF→＝－12DE→.∴AF→·BE→＝(AE→＋EF→)·(BD→＋DE→)＝AE→·BD→＋AE→·DE→＋EF→·BD→＋EF→·DE→＝AE→·BD→＋EF→·BD→＋EF→·DE→＝(AD→＋DE→)·BD→＋EF→·BD→＋EF→·DE→＝AD→·BD→＋DE→·BD→＋EF→·BD→＋EF→·DE→＝DE→·DC→－12DE→·DC→－12DE→·DE→＝12DE→·DC→－12DE→·DE→＝12DE→·(DC→－DE→)＝12DE→·EC→＝0.∴AF→⊥BE→，∴AF⊥BE.