八年级数学因式分解总复习

因思特文化有限公司1因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、因式分解的几种常用方法（1）提取公因式法把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：()mambmcmabc注：i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.ii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.（2）运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式22()()ababab注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式2222222(),2()aabbabaabbab注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()nnabba；②2121()()nnabba．（n为正整数）（3）十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,2qpxx寻找满足,abqabp的ab、，则有22()()();xpxqxabxabxaxb（4）分组分解法因思特文化有限公司2定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：22abab=22()()()()()()(1)ababababababab，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.3、因式分解的一般步骤可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”：(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来.(2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用abxbax)(2型分解.(3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束.(4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.二、典型例题及针对练习考点1因式分解的概念例1在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？⑴2(3)(3)9xxx；⑵2524(3)(8)xxxx；⑶223(2)3xxxx；⑷211()xxxx.注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2提取公因式法例2⑴yxyxyx3234268；⑵23()2()xxyyx解：（1）原式=32(431)xyxy（2）解法1：原式=23()2()xyxyx=2()[2()]yxxyx=2()(32)yxxy解法2：原式=23()2()xxyxy=2()[2()]xyxxy=2()(32)xyxy注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.因思特文化有限公司3[补例练习]一．公因式1.多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（）A.xmynB.xmyn-1C.4xmynD.4xmyn-12.多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是_____A．xmynB．xmyn-1C．4xmynD．4xmyn-13.如果多项式－51abc+51ab2－a2bc的一个因式是－51ab,那么另一个因式是（）A.c－b+5acB.c+b－5acC.c－b+51acD.c+b－51ac4.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________.5.多项式2x2+6x3中各项的公因式是__________6.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．7.－xy2(x+y)3+x(x+y)2的公因式是________．二．提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+y23.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是()A.42B.－42C.13D.－134.将下面各式进行因式分解(1)485aaa（2）486xxx（3）cbacabba233236128(4)ababba7142122因思特文化有限公司4(5)x(x－y)－y(y－x)(6)a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y)(7)233()2()abba(8)433()()()abaabbba（9)(–2)2003+(–2)2004–22003(10)nnnababba3234381125.已知2x－y=81，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.6.已知(4x-2y-1)2+2xy=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.因思特文化有限公司5考点3、运用公式法例3把下列式子分解因式：⑴22364ab；⑵22122xy.解：（1）原式=22(6)(2)ab=(62)(62)abab=2(3)2(3)abab=4(3)(3)abab（2）原式=2211(4)(2)(2)22xyxyxy注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.例4把下列式子分解因式：⑴2244xyxy；⑵543351881ababab.解：（1）原式=22(44)xyxy=22(44)xxyy=2(2)xy（2）原式=3224(1881)abaabb=32222[29(9)]abaabb322(9)abab注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.[补例练习]1.(1)6216aa；⑵22(2)(2)abab；（3）421681xx；⑷2222(1)4(1)4xxxx.(5)x2+6ax+9a2(6)442nnyy因思特文化有限公司6(7)42244nnmm(8)22363axaxyay(9)1)(2)(2qpqp(10)1)1(2)1(24xx(11)2222()2()()mnmnmn(12)8002－1600×799+79922.已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值.因思特文化有限公司7考点4、十字相乘法例5⑴254aa；⑵422454xxyy.解：（1）原式=(4)(1)aa（2）原式=2222()(4)xyxy=()()(2)(2)xyxyxyxy[补例练习](1)2712xx(2)2812xx(3)42536xx（4）22524xxyy（5）22616xxyy（6）2(2)6(2)27xyxy（7）2()2()80xyyx考点5、分组分解法例6分解因式：（1）22244zyxyx；（2）babaa2322；（3）322222yxyxyx因思特文化有限公司8分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。解：（1）原式=222(44)xxyyz=22(2)xyz=(2)(2)xyzxyz（2）原式=32()(22)aabab=22(1)2(1)aaba=2(1)(2)aab=(1)(1)(2)aaab（3）原式=22(2)(22)3xxyyxy=2()2()3xyxy=(3)(1)xyxy[补例练习]（1）22441xxyy（2）22444aaxxa（3）bababa424422（4）222zyzyxzxy（5）baaxbxbxax22因思特文化有限公司9★综合探究创新例7若25)4(22xax是完全平方式，求a的值.说明根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.例8已知2ba，求222121baba的值.说明将所求的代数式变形，使之成为ba的表达式，然后整体代入求值.例9已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值.说明这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与yx的式子，再整体代入求值.