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第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念[学习目标]1.理解平均变化率、瞬时变化率的概念(重点)．2.了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率就是导数(难点)．3.会求函数在某点处的导数(重点)．1．函数的变化率变化率类型定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率f（x2）－f（x1）x2－x1瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝温馨提示Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值，也可取负值，但不可以为0.1．思考判断(正确的打“√”，错的打“×”)(1)函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为0.()(4)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]点变化快慢的物理量．()解析：(1)函数在某一点的导数与Δx的正负无关，正确；(2)y＝f(x)在x＝x0处的导数值是Δx→0而不是Δx＝0，则不正确；(3)Δx不可能为0，但Δy可以为零，则不正确．(4)平均变化率是刻画其函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：函数值的改变量为f(x0＋Δx)－f(x0)，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：D3．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．3解析：v＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案：B4.当自变量从x0变到x1(x0＜x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数解析：由平均变化率的定义，可知当自变量从x0变到x1(x0＜x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．答案：A5．已知f(x)＝－2x＋1，则f′(0.5)＝________．解析：f′(0.5)＝f（0.5＋Δx）－f（0.5）Δx＝－2ΔxΔx＝－2.答案：－2类型1求函数的平均变化率(自主研析)[典例❶]已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx＝________．解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2－1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以平均变化率ΔyΔx＝2Δx＋4.答案：2Δx＋4归纳升华求平均变化率的步骤1．计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.2．计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．3．求平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.[变式训练]求函数f(x)＝x2＋2x＋3从1到1＋Δx的平均变化率．解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋2(1＋Δx)＋3－(12＋2×1＋3)＝4Δx＋(Δx)2，所以函数f(x)＝x2＋2x＋3从1到1＋Δx的平均变化率为ΔyΔx＝4Δx＋（Δx）2Δx＝4＋Δx.类型2求瞬时速度[典例2]物体自由落体的运动方程是s(t)＝12gt2(g＝9.8m/s2)，求物体在t＝3s这一时刻的瞬时速度．解：ΔsΔt＝12g（3＋Δt）2－12g×32Δt＝12g(6＋Δt)，ΔsΔt＝12g（6＋Δt）＝3g，所以v＝3g＝29.4m/s，即物体在t＝3s这一时刻的瞬时速率为29.4m/s.归纳升华求瞬时速度的四个步骤第一步，求位移增量：Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步，求平均速度：v＝ΔsΔt；第三步，取极限：ΔsΔt；_第四步，若极限值存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝ΔsΔt.[变式训练]一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速率为8m/s，求常数a的值．解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为ΔsΔt＝4a，即4a＝8，所以a＝2.类型3求函数在某点处的导数[典例❸]求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝f（2＋Δx）－f（2）Δx.而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝－（Δx）2－ΔxΔx＝(－Δx－1)＝－1.[类题尝试]求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，所以f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1．平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数．