万有引力理论的成就课件

4.万有引力理论的成就“请你把你们的望远镜指向黄经326°处宝瓶座内的黄道上的一点,你就将在此点约1°的区域内发现一个圆而明亮的新行星……”你知道这段话的背景吗?1.了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系,计算地球质量。2.知道行星绕恒星运动、卫星绕行星运动的共同点:万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力;会用万有引力定律计算天体的质量。3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。一、计算中心天体的质量和密度计算地球的质量(1)若不考虑地球自转的影响,地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力(2)公式:mg=G𝑀𝑚𝑅2(3)地球质量:M=𝑔𝑅2𝐺计算其他天体的质量(1)将行星(或卫星)的运动近似看做匀速圆周运动,行星(或卫星)的向心力由万有引力提供(2)公式:G𝑀𝑚𝑟2=mω2r=m𝑣2𝑟=m4π2𝑇2r(3)被环绕的太阳或行星的质量:M=4π2𝑟3𝐺T2计算中心天体的密度如果中心天体为球体,则密度ρ=𝑀𝑉=𝑀43π𝑅3=3π𝑟3𝐺T2R3,R为中心天体的半径;当匀速圆周运动的天体绕中心天体表面运行时,r=R,则ρ=3π𝐺T2二、发现未知天体1.已发现天体的轨道计算:18世纪,人们观测到太阳系第七颗行星——天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差。2.根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没有发现的未知天体的轨道,如海王星、冥王星就是这样发现的。3.继续推算其他的未知天体:海王星和冥王星的轨道与计算结果有偏差,因此人们猜测在冥王星外还有未发现的行星。一、行星(或卫星)运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系行星绕恒星运动(或卫星绕行星运动)所需的向心力是由行星与恒星间(或卫星与行星间)的万有引力提供的。则:F=G𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟=mω2r=m4π2𝑇2r=ma向,可解得v=𝐺𝑀𝑟;ω=𝐺𝑀𝑟3;T=2π𝑟3𝐺𝑀;a向=𝐺𝑀𝑟2由以上关系式可知:r越大,v、ω越小,T越大;r越小,v、ω越大,T越小;当r=R(r的最小值)时,v、ω最大,T最小。由以上分析可知,行星(或卫星)的a向、v、ω、T与卫星的质量无关,仅由被环绕天体的质量M和轨道半径r决定。二、万有引力定律的应用总结项目内容说明或提示研究天体运动应用的公式F=G𝑀𝑚𝑟2〔或F=G𝑀𝑚𝑟2=mω2r=m𝑣2𝑟=m4π2𝑇2r=m(2πf)2r〕研究天体运动时,太阳系中的行星及其卫星的运动都可以看成是匀速圆周运动,它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力测天体质量M或天体密度ρ(1)天体质量:M=4π2𝑟3𝐺T2(2)天体密度:ρ=𝑀𝑉=4π2𝑟3𝐺T24π𝑅33=3π𝑟3𝐺T2R3若卫星绕天体表面运行,则r=R,而有:ρ=3π𝐺T2把卫星的运动看成匀速圆周运动,通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径,就可推算出天体的质量及天体的密度。特别是若卫星在天体表面环绕时,只要测出其环绕周期,就可以测出天体的密度研究天体表面物体重力应用的公式mg=G𝑀𝑚𝑅2例如对月球表面物体的“重力”:mg月=G𝑀月m𝑅月2这里忽略了地球对月球表面物体的万有引力。其余天体上物体的重力以此类推(1)已知r月轨=60R地,可求:g月轨=2.7×10-3m/s2(2)已知𝑀月𝑀地=181,𝑅月𝑅地=13.8可求出:g月=1.74m/s2≈𝑔地6可见,地球对月球轨道处物体的重力加速度远小于月球对其表面物体的重力加速度。所以在月球上,地球对物体的万有引力可以忽略,而只考虑月球对物体的万有引力作用根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量。三、计算被环绕天体质量的几种方法应用万有引力定律,不仅可以计算太阳的质量,还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例,介绍几种关于计算天体质量的方法。已知条件求解方法已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T、半径r由𝐺𝑀𝑚𝑟2=m(2π𝑇)2r,得M=4π2𝑟3𝐺T2已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和卫星运行的线速度v由𝐺𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,得M=𝑣2r𝐺已知卫星运行的线速度v和运行周期T由𝐺𝑀𝑚𝑟2=m2π𝑇v和𝐺𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟,得M=v3T2π𝐺已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g由mg=G𝑀𝑚𝑅2,得M=𝑔𝑅2𝐺不计地球自转的影响,地球对物体的万有引力即为地球的重力,即mg=G𝑀𝑚𝑅2,所以得GM=gR2,此式通常称为黄金代换式。在此式中M为地球的质量,g为地球表面的重力加速度,R为地球的半径。但需要注意此式对其他天体的运用,M、g、R各量须对应同一天体。四、应用万有引力定律分析计算天体运动的有关问题需注意的几个问题1.所有做圆周运动的天体,如月球绕地球做圆周运动、地球绕太阳做圆周运动……它们所需要的向心力都来自万有引力。因此,向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式,即G𝑀𝑚𝑟2=ma式中的a是向心加速度,根据问题的条件可分别选用:a=𝑣2𝑟,a=ω2r,a=4π2𝑇2r。2.根据研究问题的实际情况,还可以利用物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力,即G𝑀𝑚𝑅2=mg式中的R为地球(天体)的半径,g为地球(天体)表面物体的重力加速度。由上式可以得到:GM=gR2由于G和M(地球质量)这两个参数往往不易记住,而g和R容易记住。所以粗略计算时,一般都采用上述代换(黄金代换),这就避开了引力常量G值和地球(天体)的质量M值,方便多了。3.另外值得注意的是,在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时,只能测出中心天体的质量,而环绕天体的质量在方程式中被消掉了。4.应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件。如地球公转一周是365天,自转一周是24小时,其表面的重力加速度约为9.8m/s2等。类型一利用万有引力定律解决天体运动问题的基本思路【例题1】我国于2011年9月29日发射了“天宫”一号目标飞行器,2013年6月中旬发射了“神舟”十号飞船并与“天宫”一号实现对接。某同学得知上述消息后,画出“天宫”一号和“神舟”十号绕地球做匀速圆周运动的假想图如图所示,虚线为各自的轨道。由此假想图,可以判定()A.“天宫”一号的运行速率小于“神舟”十号的运行速率B.“天宫”一号的周期小于“神舟”十号的周期C.“天宫”一号的向心加速度大于“神舟”十号的向心加速度D.“天宫”一号的角速度大于“神舟”十号的角速度解析:由G𝑀𝑚𝑟2=m𝑣2𝑟得v=𝐺𝑀𝑟,故“天宫”一号的运行速率小于“神舟”十号的运行速率,选项A正确;由G𝑀𝑚𝑟2=m4π2𝑇2r得T=2π𝑟3𝐺𝑀,故“天宫”一号的周期大于“神舟”十号的周期,选项B错误;由G𝑀𝑚𝑟2=ma得a=𝐺𝑀𝑟2,“天宫”一号的向心加速度小于“神舟”十号的向心加速度,选项C错误;由G𝑀𝑚𝑟2=mω2r得ω=𝐺𝑀𝑟3,故“天宫”一号的角速度小于“神舟”十号的角速度,选项D错误。答案:A题后反思:解决该类问题要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型:就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征:即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论:在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中,只有周期的值随着轨道半径的变大而增大,其余的三个都随轨道半径的变大而减小。类型二天体质量的计算【例题2】我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施,大约用十年左右的时间完成,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题,现请你解答:(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回到抛出点。已知月球半径为R',万有引力常量为G。试求出月球的质量M'。点拨:月球绕地球运动时,万有引力提供向心力。求月球的质量时,应先根据竖直上抛运动的规律,求得月球表面的重力加速度,再根据物体在月球表面时受的万有引力和重力相等求出月球的质量。解析:(1)设地球质量为M,月球质量为M',根据万有引力定律和向心力公式:G𝑀𝑀'𝑟2=M'(2π𝑇)2r在地球表面有G𝑀𝑚𝑅2=mg解得:r=𝑔R2T24π23。(2)设月球表面处的重力加速度为g',根据题意:t=2𝑣0𝑔'又G𝑀'𝑚𝑅'2=mg'解之得:M'=2𝑣0R'2𝐺𝑡。答案:(1)𝑔𝑅2𝑇24𝜋23(2)2𝑣0R'2𝐺𝑡题后反思:求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据重力等于万有引力,即mg=G𝑀𝑚𝑅2,求得M=𝑔𝑅2𝐺;另一种方法是根据万有引力等于向心力,即G𝑀𝑚𝑟2=m(2π𝑇)2r,求得M=4π2𝑟3𝐺T2。当然,无论哪种方法都只能求中心天体的质量。类型三天体密度的计算【例题3】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1,已知万有引力常量为G,则该天体的密度为多少?若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少点拨:在利用万有引力定律和圆周运动知识求解时,应注意区分天体半径和轨道半径。解析:设卫星的质量为m,天体的质量为M。卫星贴近天体表面运动时有G𝑀𝑚𝑅2=m4π2𝑇12R解得M=4π2𝑅3𝐺T12根据数学知识可知星球的体积V=43πR3故该星球密度ρ=𝑀𝑉=4π2𝑅3𝐺T12·43π𝑅3=3π𝐺T12卫星距天体表面距离为h时有G𝑀𝑚(𝑅+ℎ)2=m4π2𝑇22(R+h)解得M=4π2(𝑅+ℎ)3𝐺T22星球密度ρ=𝑀𝑉=4π2(𝑅+ℎ)3𝐺T22·43π𝑅3=3π(𝑅+ℎ)3𝐺T22R3。答案:3π𝐺T123π(𝑅+ℎ)3𝐺T22R3题后反思:利用公式M=4π2𝑟3𝐺T2计算天体的质量,再利用ρ=𝑀43π𝑅3计算天体的密度,注意r是指天体运动的轨道半径,而R是指中心天体的半径,只有贴近中心天体运行时才有r=R。行星的平均密度为ρ,靠近行星表面的卫星的周期为T,试证明ρT2为一个常数。提示:设行星的半径为R,对卫星有G𝑀𝑚𝑅2=m4π2𝑇2R,解得M=4π2𝑅3𝐺T2,则ρ=𝑀𝑉=4π2𝑅3𝐺T243π𝑅3=3π𝐺T2,所以ρT2=3π𝐺,得证。类型四双星问题【例题4】如图,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧。引力常量为G。(1)求两星球做圆周运动的周期。(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位有效数字)点拨:“双星”系统中的每一颗恒星做圆周运动时的向心力由它们之间的万有引力提供,在相等的时间内转过的角度相等,即有相同的角速度。解析:(1)A和B绕O做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则A和B的向心力大小相等。且A、B和O始终共线,说明A和B有相同的角速度和周期。因此有mω2r=Mω2R,r+R=L联立解得R=𝑚𝑚+𝑀L,r=𝑀𝑚+𝑀L对A,根据牛顿第二定律和万有引力定律得𝐺𝑀𝑚𝐿2=m(2π𝑇)2𝑀𝑀+𝑚L化简得T=2π𝐿3𝐺(𝑀+𝑚)。(2)将地月看成双星,由(1)得T1=2