第七章--三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为360kkZx轴上角：180kkZy轴上角：90180kkZ3、第一象限角：036090360kkkZ第二象限角：90360180360kkkZ第三象限角：180360270360kkkZ第四象限角：270360360360kkkZ4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角第一象限角：036090360kkkZ锐角：090小于90的角：90任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用5、若为第二象限角，那么2为第几象限角？kk222kk224,24,0k,2345,1k所以2在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.7、角度与弧度的转化：01745.01801815730.5718018、角度与弧度对应表：角度030456090120135150180360弧度0643223345629、弧长与面积计算公式弧长：lR；面积：21122SlRR，注意：这里的均为弧度制.二、任意角的三角函数1、正弦：sinyr；余弦cosxr；正切tanyx其中,xy为角终边上任意点坐标，22rxy.2、三角函数值对应表：度030456090120135150180270360弧度06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313无31330无0ry)(x,P3、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全stc”）sintancos第一象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,第二象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,第三象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,第四象限：0,0.yxsin0,cos0,tan0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）5、同角三角函数基本关系式22sincos1sintantancot1coscossin21)cos(sin2cossin21)cos(sin2(cossin，cossin，cossin，三式之间可以互相表示)6、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是2n中整数n的奇偶性，把看作锐角)212(1)sin,sin()2(1)s,nnnncon为偶数为奇数；212(1)s,s()2(1)sin,nnconncon为偶数为奇数.①.公式（一）：与2,kkZsin)2sin(k；cos)2cos(k；tan)2tan(k②.公式（二）：与sinsin；coscos；tantan③.公式（三）：与sinsin；coscos；tantan④.公式（四）：与sinsin；coscos；tantan⑤.公式（五）：与2sincos2；cossin2；⑥.公式（六）：与2sincos2；cossin2；⑦.公式（七）：与323sincos2；3cossin2；⑧.公式（八）：与323sincos2；3cossin2；三、三角函数的图像与性质1、将函数sinyx的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数sinyAx的图象。2、函数sin0,0yAxA的性质：①振幅：A；②周期：2T；③频率：12fT；④相位：x；⑤初相：。3、周期函数：一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.4、⑴)sin(xAy对称轴：令2xk，得2kx对称中心：kx，得kx，))(0,(Zkk；⑵)cos(xAy对称轴：令kx，得kx；对称中心：2kx，得2kx，))(0,2(Zkk；⑶周期公式:①函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T(A、ω、为常数，且A≠0).②函数xAytan的周期T(A、ω、为常数，且A≠0).5、三角函数的图像与性质表格sinyxcosyxtanyx图像定义域RR,2xxkkZ值域1,11,1R最值当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，min1y．当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkkZ上是增函数；在32,222kkkZ上是减函数．在2,2kkkZ上是增函数；在2,2kkkZ上是减函数．在,22kkkZ上是增函数．对称性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ对称中心,02kkZ对称中心,02kkZ无对称轴函数性质对称轴xkkZ6.五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取0、2、、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。7.)sin(xAy的的图像8.函数的变换：（1）函数的平移变换①)0)(()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）②)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：①)0)(()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）②)0)(()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）（3）函数的对称变换：①)()(xfyxfy)将)(xfy图像绕y轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于x轴对称）②)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折180°（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）③)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）cossincossin)sin((2）cossincossin)sin((3）sinsincoscos)cos((4）sinsincoscos)cos((5）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(6）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7)sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,2222sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形).(8))4tan(tan1tan1)4tan(tan1tan12.二倍角公式（1）aaacossin22sin（2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa（3）aaa2tan1tan22tan3.降幂公式：（1）22cos1cos2aa（2）22cos1sin2aa4.升幂公式（1）2cos2cos12（2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1（4）22cossin1（5）2cos2sin2sin5.半角公式（符号的选择由2所在的象限确定）（1）2cos12sinaa，（2）2cos12cosaa，（3）aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan6.万能公式:（1）2tan12tan2sin2,（2）2tan12tan1cos22,（3）.2tan12tan2tan27.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa，比如：xxycos3sin)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx)cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x（3）注意“凑角”运用：，，12例如：已知),43(、,53)sin(，1312)4sin(，则?)4cos(（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候