王顺荣编高教版社结构化学习题答案第7章

第七章晶体结构的点阵理论组员：070601321艳君070601322林露070601323洁洁070601324明颖070601325林莹070601326俞鸿070601347潘渊1.在空间点阵中，是否一定能够选出素单位（不论平行六面体的形状如何）？立方面心点阵能否选出？怎样选法？答：能。可以，分别取四条棱的中点，连线，构成一个面，即为立方面心点阵。2.根据划分点阵正当单位的基本原则，论证平面点阵的四类点阵的四种类型中只有矩形单位有带心和不带心的两种型式，而其他均无带心的形式。证明：正单位即对称性高的、含点阵少的单位。符合要求的平面正当格子只有四种形状五种型式，即正方形格子，矩形格子，矩形带心格子，六方格子和平行四边形格子。如下图所示，若其他形式的格子含有点心结构，则又会变回无带心形式。3.以二维图形为例，论证非并置堆砌不符合平移群的要求。六方格子正方形格子矩形格子矩形带心格子四方格子解析：对于二维结构，晶胞定点应为4个晶胞共有，才能保证晶胞定点上的点有着相同的环境。如图，若每个矩形代表一个结构基元，由于A点和B点的周围环境不同，（A点上方没有连接线，B点下方没有连接线），图中的矩形不是晶胞。晶胞可选择红色线所组成的，形成形成有晶胞并置排列的结构。4.点阵结构与晶体有何对应关系？空间格子与晶格是对应关系还是同一回事？答：这些几何点在空间按一定规律排列（周期重复）就构成了点阵。晶体的不同，所对应的点阵形式不一定相同，但它们都有一个共同的性质，连接其中任何两点所决定的矢量，进行平移都能够复原。点阵是反应晶体结构周期性的几何形式。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。5.为什么有立方面心点阵型式，而无四方面心点阵型式？如图所示，因为四方面心可由四方体心代替。6、衍射指标和晶面指标有何区别和与联系？答：衍射指标表示衍射与倒易点阵点（h,k，l)关系的符号，记为hkl。衍射指标与晶面指标的不同之处在于：三个整数h、k、l不必是互质的。衍射指标hkl的整数性决定了晶体衍射方向的分立性，每一套衍射指标规定了一个衍射方向。设有一组晶面，间距为d(hkl)，一束平行X射线射到该晶面族上，入射角为θ。晶面族产生衍射的条件为：2d(hkl)sinθn＝nλ7.如图，对于层形石墨分子形成的二维晶体，其结构基元除了图中的选法外，还可与怎样选择？各种选法所得的结构基元中都包含几个C？几个C---C键长？2个C，2个C---C键长3个C，3个C---C键长4/3个C，1个C---C键长10/3个C，5个C---C键长8.写出金刚石立方晶胞中碳原子的分数坐标，已知晶胞参数a=356.7pm，计算C-C键长。解：可知C的原子坐标为（0，0，0）和（14,14,16）键长R=（x2－x1）2+(y2－y1)2+(z2－z1)2a带入有关数据R=（14－0）2+(14－0)2+(16－0)2×356.7pm=139.5pm9.有一AB型晶体，晶胞中A和B得坐标参数分别为（000）和（12，12，12）。指明该晶体的空间点阵型式和结构基元。解：设A的射散因子为fa,B的射散因子为fbF(hkl)=faei2π(0+0+0)+fbei2π(h2+k2+l2)=fa+fbeiπ(h+k+l)=fa+fb[cosπ(h+k+l)+isin(h+k+l)]当fa=fb，即AB为相同物质时：当h+k+l=奇数时，F(hkl)=0当h+k+l=偶数时，F(hkl)=2f在奇数时不衍射，故为体心点阵（I）当fa≠fb，即AB为不同物质时：无消光现象，故为简单点阵（P）结构基元：A:○B:●fa=fbfa≠fb10.根据群的性质，证明二维点阵符合平移群：Tmn=ma+nb证明：平面点阵可以看成是两个不平行的直线点阵，因为点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可得一向量，设为a,则在a方向上进行平移可得：Tm=ma，同理，可设另一个不与a平行的向量b，在b方向上进行平移可得Tn=nb,因为不平行的两条直线可以确定一个平面。综上所述Tmn=ma+nb11.NaCl晶胞如图所示，试计算晶胞中Na＋、Cl－数和NaCl粒子数；并推求出带阴影的三个晶面的晶面指标。Na+：12×（1/4）+1=4Cl－:8×（1/8）+6×（1/2）=4以O为原点三个晶面从下到上晶面指标分别为（1，0，1）、（0，0，1）、（2，0，4）12.所谓晶面交角，就是二晶面的法线交成的锐角。已知黄铁矿（FeS2,即“愚人金”）属立方晶系，试作图（取c与纸面垂直）突出其晶面（100）、(010)、(110)、(210)的取向，并由图计算出各晶面间相应的晶面交角。解：黄铁矿（FeS2）中两个S缔合在一起，结构与NaCl相似，但由于S-S的取向使空间群从Fm3m降至Pa3。取c与纸面垂直，则如图由图可知晶面（100）为BCGF,(010)为CDHG,(110)为BDHF,(210)为BFIK(100)与（010）的夹角为90°(100)与（110）的夹角为45°(100)与（210）的夹角为arctan2(010)与（110）的夹角为45°cabABCDDDDDDEFGHIK(010)与（210）的夹角为arctan1/2(110)与（210）的夹角为arctan1/2-45°13、利用立方体图形，计算CH4正四面体结构C-H键的夹角是109o28＇A、B、C、O为CH4中4个H，D为CH4的CA、O、D的原子坐标分别为（1，0，1），(0，0，0)，（1/2,1/2,1/2）AD=√3/2,OD=√3/2,AO=√2∠AOD为两个C-H键的夹角Cos∠AOD=（AD2+OD2-AO2）/2AD·OD=-1/3∠AOD=109o28＇即CH4中C-H键夹角为109o28＇14.利用三角函数法，证明由于点阵结构的制约，晶体结构中不存在5、7及更高次轴。设该晶胞中有一旋转轴n，通过某点阵O，根据除一重轴外，任何对称轴必与一组平面点阵垂直，则必有一组平面点阵与n垂直，而在其中，必可以找出与n垂直的、属于平移群的素向量a。如图，讲a作用于O得A点，将-a作用于O得A'点。若以2pai/n表示n，的基转角（a），则L/(2pai/n)及L/(-2pai/n），必能使点阵复原，这样就必可得到阵点B及B'，并可得出向量BB'。由于向量OB'及OB是a-及a绕n旋转后得到的，属于平移群。由图可以看出，BB'必平行于AA'，则有BB'=ma，m为整数。由图中的几何关系可得：)/2cos(2'nOBBB，即m/2=cos(2/n)，因212/,1)/2cos(mmn或即，故有m=0、1、-1、2、-2。分别解0,2,1)\2cos(2n，如下：m)/2cos(nn/2n-2-12/212-1-0.53/23/23004/22/410.56/23/6211/221已经证明，n=1，2，3，4，6.15.根据正当晶胞的要求，绘图证明14种空间点阵型式中有正交底心，而无四方底心和立方底心型式。如图1所示，正交底心不能由正交简单点阵来代替。如图2所示，四方底心可由四方简单点阵代替。如图3所示，假设存在立方底心，则由图可知它不存在4个3次轴，这与立方晶系所拥有的特征对称元素相矛盾，所以不存在立方底心。（1）（2）（3）16、举例说明点群的国际符号的意义：用国际符号确定出属于hO和dT点群的晶系的所有对称元素？答：（1）晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群。点群的国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字母，这种排列先后的顺序叫“位序”，大多记三位，表示晶体中三个方向的对称性。例如：.NH3，具有三角锥结构，只有一个3重轴（应属于单轴群），还有过轴的镜面，因此应是C3V群；BrF5，用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是C4V。NH3，具有三角锥结构，只有一个3重轴（应属于单轴群），还有过轴的镜面，因此应是C3V群；BrF5，用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是C4V。（2）hO：43，34，6mdT：43，34，62.，9m，i17.绘图指出金红石（TiO2）晶体中的42螺旋轴18.对直线点阵与晶面组（h*k*l*）垂直的情况，推正出布拉格方程。由图可知：AE=dh*k*l*Δ=BC－AD=nλ∠CAE=θS0sDθAθ213θdC（h*k*l*）BE12345678234167852’3’4’1’6’7’8’5’在直角三角形ABD中，AB=AD/cos[∠(2+θ)](7-5)在直角三角形ABC中，AB=BC/sin[∠(1+θ)](7-6)在直角三角形ABE中，AB=dh*k*l*/cos∠1(7-7)由（7-6）式与（7-7）式可得：BC=dh*k*l*·sin[∠(1+θ)]/cos∠1由(7-5)式与（7-7）式可得：AD=dh*k*l*·cos[∠(2+θ)]/cos∠1所以△=BC-AD=dh*k*l*cos∠1{sin[∠(1+θ-cos[∠(2+θ)])(7-8)因为∠1+∠1=90°，所以cos∠2=sin∠1，sin∠2=cos∠1代入（7-8）式，得△=dh*k*l*·2sinθ即2dh*k*l*·2sinθnh*nk*nl*=nλ19.金属铝为立方晶系晶体，晶胞参数a=404.9pm，试计算d200、d111、d220。解：立方晶系dhkl=a/h2+k2+l2d200=404.9/22+02+02=202.5pmd111=404.9/12+12+12=233.8pmd220=404.9/22+22+0220.晶胞的二要素是什么？X射线在晶体衍射中衍射的二要素是什么？二者有何联系？分别通过什么方程或公式联系起来？并解释之。解：晶胞二要素，一是晶胞的大小和形状，可用晶胞参数表示；二是晶胞中各原子的坐标位置，通常用坐标来表示。X射线在晶体衍射中衍射的二要素是衍射方向和衍射强度。衍射方向和晶胞参数相对应，衍射强度和晶胞中原子坐标参数相对应。衍射方向和晶胞参数可用laue方程表达：hssa)(0kssb)(0lssc)(0式中a,b,c反映了晶胞大小形状和空间取向；s和0s反映了衍射X射线和入射X射线的方向；h,k,l为衍射指标，为X射线波长。衍射强度hklI和结构因子hklF成正比，而结构因子和晶胞中原子种类及其坐标参数x,y,z有关：jjjjihkllzkyhxifF(2exp21.Ni、Pd、Pt、Cu、Ag、Au等金属都属于立方面心结构。试证明它们对X射线的衍射，只有当衍射指标hkl都是奇数或都是偶数时，衍射才能出现；而当hkl为奇偶混杂时，则衍射不能出现。证明：Cu原子成立方紧密堆积，空间群为Fm3m，晶胞参数α。=0.3608nm,原子配位数CN=12，单位晶胞中原子数目Z=4,结构如图所示其分数坐标分别为（000），（1/21/20）,(01/21/2),(1/211/2),四原子是同一种原子，其散射因子f相同。代入F(hkl)=∑jfje2∏(hxj+kiyj+lzj)得：F(hkl)=fei2∏(0+0+0)+fei2∏(h/2+k/2+0)+fei2∏(0+k/2+l/2)+fei2∏(h/2+k+l/2)=f[1+ei∏(h+k)+ei∏(k+l)+ei∏(h+2k+l)]=f[1+cos∏(h+k)+isin∏(h+k)+cos∏(k+l)+isin∏(k+l)+cos∏(h+2k+l)+isin∏(h+2k+l)]zxy当hkl均为奇数时F(hkl)=f[1+1+0+1+0+1+0]=4f当hkl均为偶数时F(hkl)=f[1+1+0+1+0+1+0]=4f当hlk奇偶混杂时，例h为奇数，k为偶数，l为奇数。则F(hkl)=f[1+（-1）+0+（-1）+0+1+0]=0这个结果说明当衍射指标hkl都是奇数或都是偶数时衍射才能出现；而当hkl为奇偶混杂时衍射不能出现。22、在简单立方晶胞中原子坐标（以a为单位