关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(2N阶行列式是N!项的代数和;3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132,它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如:D=dcba=ad-bc,badc=bc-ad=-D以ri表第i行，Cj表第j列。交换i,j两行记为rjir,交换i,j两列记作CiCj。322311332112312213aaaaaaaaa322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD（1）性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作rik）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。nnnnjnnnjnjabaaaabaaaabaaa2122222211111211=nnnjnnnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211+nnnnnnnabaaabaaabaa21222221111211性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m2)，则此行列式等于m个行列式之和。一个n阶行列式，如果它的元素满足：njiaaijji2,1,；试证：当n为奇数时，此行列式为零。列式。则称此行列式为对称行；如果满足：定义：行列式),,1,(njiaaajiijijnnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行：jiAaAaAajninjiji02211按列：jiAaAaAanjnijiji02211将性质7与Laplace定理合并为下列结论：jijiDAankjkki01（1）和jijiDAankkjki01（2）行列式的计算1．利用行列式定义直接计算例1计算行列式001002001000000nDnn解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于(1)(2)2nn，故(1)(2)2(1)!.nnnDn2．利用行列式的性质计算例2一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa由行列式的性质AA1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]000000bbbabanbabab1[(1)]()nanbab4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4计算n阶行列式00010000000000001000naaaDaa解将Dn按第1行展开1000000000000(1)0000000001000nnaaaaDaaaa12(1)(1)nnnnaa2nnaa.5．逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5证明1221100001000001nnnnxxDxaaaaax12121,(2)nnnnnxaxaxaxan证明：将Dn按第1列展开得12321100001000001nnnnxxDxxaaaaax11000100(1)001nnxax1nnaxD由此得递推公式：1nnnDaxD，利用此递推公式可得112()nnnnnnDaxDaxaxD212nnnaaxxD111nnnnaaxaxx6．利用范德蒙行列式例6计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7计算n阶行列式12121212nnnnnxaaaaxaaDaaaaaxa解：1100nnnaaDD1211002,,1100100niaaaxinxx第行减第1行（箭形行列式）1211000000000njnjaaaaxxxx11njnjaxx8．数学归纳法例8计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax解：用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa212xaxa假设n=k时，有12121kkkkkkDxaxaxaxa则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得11kkkDxDa1111()kkkkkxxaxaxaa12111kkkkkxaxaxaxa由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxaxaxaxa9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9计算行列式nD11212212nnnnaaaaaaaaa解：nD1212212nnnnaaaaaaaaa1222000nnnnaaaaa122000nnnaaaa11nD1211nnaD……1211niniia上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。(1)yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33;证明bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxabzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxba)(33关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）(2)1112222bbaababa(ab)3;证明1112222bbaababa00122222221213ababaabaabaccccabababaab22)1(2221321))((abaabab(ab)3(3)444422221111dcbadcbadcba(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明444422221111dcbadcbadcba)()()(0)()()(001111222222222addaccabbaddaccabbadacab（c2,c3,c4减数字去第一列的）)()()(111))()((222addaccabbdcbadacab))(())((00111))()((abdbddabcbccbdbcadacab)()(11))()()()((abddabccbdbcadacab=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)(4)1221100000100001axaaaaxxxnnnxna1xn1an1xan证明用数学归纳法证明当n2时2121221axaxaxaxD命题成立假设对于(n1)阶行列式命题成立即Dn1xn1a1xn2an2xan1则Dn按第一列展开有1110010001)1(11xxaxDDnnnnxDn1anxna1xn1an1xan因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得nnnnaaaaD1111111112nnnnaaaaD11113aaaaDnnnn