清北学堂数学高联一试模拟题(10)及答案

清北学堂高联一试模拟题(十)一、填空题1、已知定义在,4上的减函数fx，使得27sin12cos4fmxfmx对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为．答案：13,322解：由题意可得27sin12cos,4sin4.mxmxmx即2312sinsin,44sin.mmxxmxxR对恒成立，又2311sin2sin(sin)422xxx，所以4sin3x．所以112,23.mmm所以112,23.mmm所以12m，或332m．2、一列数123,,,aaa满足对于任意正整数n，都有312naaan，则232017111111aaa．答案：6722017．解：当2n时，有312naaan，3121(1)naaan，两式相减，得2331nann，所以11111(),2,3,13(1)31nnannnn故232017111111aaa11111111(1)()()3232332016201711672(1)320172017．3、已知P、Q、R、S是三棱锥ABCD内的四点，且Q、R、S、P分别是线段PA、QB、RC、SD的中点，若用PABCV表示三棱锥PABC的体积，其余的类推．则:::PABCPBCDPCDAPABDVVVV．答案：8:1:2:4．解：记,PBCDd为点P到平面BCD的距离．其余类推．设1PBCDV．∵,,::2SBCDPBCDddSDPD．∴2SBCDV．∵,,::2:1RBCDSBCDddRCSC，∴4RBCDV．∵,,::2:1QBCDRBCDddQBRB，∴8QBCDV．设AP延长后交平面BCD于'P．则':':8:1QBCDPBCDQPPPVV．∴:'7:1QPPP，又AQQP，∴':'15:1APPP．∴15ABCDV．同理1QACDV，1SABCV，1RABDV．∴88PABCSABCVV，22PCDAQCDAVV，244PABDQABDRABDVVV．∴:::8:1:2:4PABCPBCDPCDAPABDVVVV．4、直线2ykx交抛物线28yx于,AB两点，若AB中点的横坐标为2，则AB.答案：215．解：设1122,,,AxyBxy，由228kyy，即28160kyy，所以，1212816,yyyykk，因此12128444yykxxkk，即220kk，因直线2ykx过0,2和122,2yy，则0k，于是2k，再由22yx，28yx，解得23,223,23,223AB，所以215AB．5、设函数:,(0)1fRRf满足，且对任意,,xyR都有(1)()()()2fxyfxfyfyx，则()fx=．答案：()1fxx.解：,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有(1)()()()2fxyfyfxfxy有()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得.6、数列}{na是单调递增数列，且Nn时1132nnnaa，则首项0a．答案：51.解：由已知有)52(35211nnnnaa，故)51()3(520aannn，从而)]51()23(41[520111aaannnn.若0510a，则对充分大的偶数0,1nnaan；若0510a，则对充分大的奇数0,1nnaan.因此，510a时，数列}{na不是单调递增数列.当510a时，对一切Nn，有05211nnnaa，数列}{na是单调递增数列.7、已知dcxbxaxxp23)(是一个三次多项式，满足)21()21(pp)0(1000p.设321,,xxx是)(xp的3个根，则323121111xxxxxx的值为.答案：1996.解：由)0(1000)21()21(ppp可得ddb1000221，所以.1996db因为321,,xxx是dcxbxaxxp23)(的3个根，由根与系数的关系可得abxxx321，adxxx3321)1(.因此321321323121111xxxxxxxxxxxx=31996.(1)bbadda8、将圆周9等分于点129,,,AAA，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形的个数为．答案：30.解：一般地讨论圆周21n等分的情况，任取其中一个分点，记为P，然A1B1AnBnA2B2Bn-1An-1B3A3P后将其余2n个分点这样标志，自P点后，反时针方向的连续n个点依次记为12,,,nAAA；顺时针方向的连续n个点依次记为12,,,nBBB；先考虑以P为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然，这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集12,,,nAAA，而另一个属于点集12,,,nBBB．且这种ijPAB含有圆心当且仅当1ijn，,1,2,,ijn，今计算合于条件的三角形个数：当ik时，j可取值,1,,1nnnk，共计k个值，因此这种含有圆心的ijPAB个数为1112nkknn，当点P取遍21n个位置，共得11212nnn个三角形，由每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍，因此，合于条件的三角形个数为1216nnn．二、解答题9、数列}{ny定义如下：12211,72,(1,2,)nnnyyyyyn.求证：数列}{ny中的每一项都是完全平方数.解：方法一：利用三阶递推，求出yn，再用数学归纳法证明它们都是完全平方数。方法二，构造数列nf：122111,2,.nnnfffffn,，性质1：当n为奇数时，222)·1.(nnnfff－简证：左边＝22425131nnnffffff。性质2：223.nnnfff观察：nf：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…y1=1，y2=1，y3=4=22，y4=52，y5=132，…猜测：2322()nnyfn。下面用数学归纳法证明：由2222()9()nnnfff得222222222292?()()(72)()()nnnnnnnfffffff∴212322221()(()72)nnnfff，即223()nf与}{ny满足相同的递推关系与初始项，从而确实有2322()nnyfn，又y1=1，即证}{ny中的每一项都是完全平方数。10、如图，椭圆22221xyab（0ab）上有一个内接四边形ABCD，其中A、B为椭圆的左、右顶点，AC、BD为四边形的对角线．记Q为右准线与x轴的交点，l为过右焦点F所作的准线的平行线．当C、D、Q三点共线时：（Ⅰ）求CD斜率的值域；（Ⅱ）证明直线AC、BD、l三线共点．解：（Ⅰ）由已知有,0Aa，,0Ba，2,0aQc22cab，直线l：xc．当C、D、Q三点共线时，设CD的斜率为k，由组成四边形知,CD不是,AB，故0k，又将C或D的坐标一般地记为椭圆上点,xy，由椭圆的定义有222ayxcexc，其中cea为椭圆的离心率．由斜率公式，有222200yxcykeaaxxcc．但当xc时，k取最大值，CQ为椭圆的切线，,CD重合为一点，与四边形矛盾，故斜率的值域为0ke，或,00,ccaa．（Ⅱ）当,,CDQ三点共线时，设C、D的坐标依次为cos,sinab，cos,sinab，由第（Ⅰ）问知直线CD的斜率存在且属于K，有22sinsinsin0sin00coscoscoscosbbbbaaaaaacc，①得sinsin，sin0，sin0，②且sinsincoscoscaca．③由②可把③化成比例（分母不为零），并变形cossinsinsin2sinsinsincos2casinsinsinsinsinsin．④又AC，BD的方程为sin00cosbyxaaa，sin00cosbyxaaa，联立消去y，得sin0sin0coscosbbxaxaaaaa，可解得直线AC、BD交点的横坐标为sincos1sincos1sincos1sincos1xasinsinsinsinsinsina，⑤把,,CDQ三点共线的条件④代入，得xc，这表明直线AC，BD的交点在l上，得证AC，BD，l三线共点．11、若x，y，z是正实数，且xyyzzxxyz，求333(1)(1)(1)xyzyzxzxy的最小值．解：由题设条件得：1111xyz，设abcxaabcybabczc其中,,abc是正实数，则左边323()()1abcabcbca32223()abcabcababbcacacbca65565538888883333()38383648abcabcabcabcbcaabc．当且仅当abc时，即3xyz时取等号．二试一、ABC的内心为I,圆切AB,AC于M,N.圆'过B,C且于相切于点D.求证:M,B,D,I;N,C,D,I分别四点共圆.证明:设MBI与NCI外接圆交于D'点,D'M交BI于P,D'N交CI于Q,则有MDNMDINDI'''=MBI+MCIMDI',D'在圆上又ABCPIQMDN90180180(')22,IPQD,,,'四点共圆.MNABCDD'IPQDPQDIQDNCDMN''''类似有DQPDNM'',从而PQ//MN,MPNQPDQD''故MBMBPNCNCQBDDBPDCDCQsinsin'sin''sin',而MBPIMNCQINDBPIDDCQIDsinsin,sin''sin''且IM=IN,MBNCBDMBBDDCDCNC','''设DB,DC交圆'于E,F,则BMBEBDCNCECD22,有,'位似,D为位似中心,BECEBMNCBDBDBDCDBDCDDCDC',',所以,DD'.证毕.二、已知,,xyz是正实数，证明22222222232224xyyzzxxyzxyzxyz。证明：设222,,uxvywz，则222222222222xyyzzxxyzxyzxyz222222222222xyyzzxyzzxzxxyxyyz222222222222222xyyzzxyzzxzxxyxyyz111222uvvwwuvwwuwuuvuvvw。设,,avwbwucuv，则20,20abcwbca