基本不等式试题

基本不等式题一、选择题1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥22．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．0B．2C.2aa－1D．33．若x＞0，f(x)＝12x＋3x的最小值为()A．12B．－12C．6D．－64．函数y＝x1－x2(0＜x＜2)的最大值是()A.14B.12C．1D．25．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件6．点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为()A.113B．3＋23C．6D．97．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝a＋b2B．x≤a＋b2C．x＞a＋b2D．x≥a＋b28．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得1a＋1b取最小值的实数对(a，b)是()A．(5，10)B．(6，6)C．(10，5)D．(7，2)9．不等式（x＋y）（x＋ay）xy≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．810．已知x0，y0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．3611．若x，y是正数，则x＋12y2＋y＋12x2的最小值是()A．2B.72C．4D.9212．给出下列语句：①若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；②若a，b，m为正实数，a＜b，则a＋mb＋m＜ab；③若ac2＞bc2，则a＞b；④当x∈0，π2时，sinx＋2sinx的最小值为22，其中结论正确的个数为()A．0B．1C．2D．3二、填空题13．已知x0，y0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________．14．函数f(x)＝lgx＋4lgx(0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当x＝________时取等号．15．若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．16．已知a＞b＞0，则a2＋64b（a－b）取最小值时b的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知x＞0，求y＝2－x－4x的最大值；(2)已知x＞2，求y＝x＋1x－2的最小值；(3)已知0＜x＜12，求y＝12x(1－2x)的最大值．18．(本小题满分12分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求△AOB的面积S的最小值．19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件2x－y＋2≥08x－y－4≤0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8.(1)求1a＋1b的最小值；(2)求a2＋16b2－4ab的最小值．20.(本小题满分12分)是否存在常数c，使得不等式x2x＋y＋yx＋2y≤c≤xx＋2y＋y2x＋y对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．参考答案与解析1．【解析】选D.特值法：取a＝b＝－1可排除A、B、C选项．2．【解析】选D.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋1a－1＝(a－1)＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3，当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时，等号成立，故选D.3．【解析】选A.因为x＞0，所以f(x)＝12x＋3x≥212x×3x＝12，当且仅当12x＝3x，即x＝2时取等号．4．【解析】选B.因为0＜x＜2，所以0＜1－x2＜1，所以y＝x1－x2＝2·x21－x2≤2x2＋1－x222＝12，当且仅当x2＝1－x2，即x＝1时，等号成立，故选B.5．【解析】选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800＋x8·x，所以平均每件费用y＝800＋18x2x＝x8＋800x≥20，当且仅当x8＝800x，即当x＝80件时，ymin＝20.6．【解析】选D.因为x＋3y＝2，所以z＝3x＋33y＋3≥2×3x＋3y＋3＝232＋3＝9.当且仅当x＝3y即x＝1，y＝13时取等号．7．【解析】选B.A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤1＋a＋1＋b22＝1＋a＋b22，所以x≤a＋b2.8．【解析】选A.1a＋1b＝1301a＋1b(4a＋b)＝1304＋1＋ba＋4ab≥1305＋2ba·4ab＝310，当且仅当ba＝4ab，4a＋b＝30，即a＝5，b＝10时等号成立．故选A.9．【解析】选B.（x＋y）（x＋ay）xy＝x2＋（a＋1）xy＋ay2xy＝a＋1＋x2＋ay2xy≥a＋1＋2a＝(a＋1)2，当且仅当x＝ay时等号成立，所以（x＋y）（x＋ay）xy的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.10．【解析】选B.(1＋x)(1＋y)≤（1＋x）＋（1＋y）22＝2＋（x＋y）22＝2＋822＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.11．【解析】选C.x＋12y2＋y＋12x2＝x2＋14x2＋y2＋14y2＋xy＋yx≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝22时，式子取得最小值4.12．【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)2(a＋b)，由于a，b为正实数，a≠b，所以(a－b)2(a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.13．【解析】由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故2x＋5y最小值＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．【答案】214．【解析】因为0＜x＜1，所以lgx＜0，所以－lgx＞0，f(x)＝lgx＋4lgx＝－（－lgx）＋4－lgx≤－2（－lgx）·4－lgx＝－4.当且仅当－lgx＝4－lgx，即lgx＝±2时，取“＝”．又因为lgx＜0，所以lgx＝－2，此时x＝1100.【答案】－4110015．【解析】因为x＞0，所以x＋1x≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12＋3＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.【答案】15，＋∞16．【解析】因为a＞b＞0，所以0＜b(a－b)≤b＋（a－b）22＝a24，当且仅当b＝a－b，即b＝a2时等号成立，所以64b（a－b）≥64×4a2＝256a2，所以a2＋64b（a－b）≥a2＋256a2≥2a2·256a2＝32，当且仅当a2＝256a2，即a＝4时等号成立，此时b＝a2＝2.【答案】217．【解】(1)因为x＞0，所以x＋4x≥4，所以y＝2－x＋4x≤2－4＝－2，所以当且仅当x＝4x(x＞0)，即x＝2时，ymax＝－2.(2)因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4.所以当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x＝3时，ymin＝4.(3)因为0＜x＜12，所以1－2x＞0，所以y＝14×2x·(1－2x)≤142x＋1－2x22＝116，所以当且仅当2x＝1－2x0＜x＜12，即x＝14时，ymax＝116.18．【解】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(显然k存在，且k≠0)．令y＝0，可得A2－1k，0；令x＝0，可得B(0，1－2k)．因为A，B都在正半轴上，所以2－1k＞0且1－2k＞0，可得k＜0.所以S△AOB＝12|OA|·|OB|＝122－1k(1－2k)＝－4k2＋4k－12k＝－2k＋1－2k＋2≥2（－2k）·1（－2k）＋2＝4，当且仅当k2＝14，即k＝－12时，S△AOB取得最小值4.19．【解】作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：ax＋by＝0，平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.(1)因为a＞0，b＞0，则1a＋1b＝18(a＋4b)·1a＋1b＝185＋4ba＋ab≥185＋24ba·ab＝18(5＋4)＝98，当且仅当4ba＝ab＝2，即a＝83，b＝43时取等号，所以1a＋1b的最小值为98.(2)因为a＋4b＝8，a＞0，b＞0，所以a＋4b≥2a·4b＝4ab，所以ab≤4.又因为a2＋16b2≥（a＋4b）22＝32，所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，当且仅当a＝4b＝4，即a＝4，b＝1时取等号，所以a2＋16b2－4ab的最小值为16.20【解】当x＝y时，由已知不等式得c＝23.下面分两部分给出证明：(1)先证x2x＋y＋yx＋2y≤23，此不等式⇔3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．(2)再证xx＋2y＋y2x＋y≥23，此不等式⇔3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．综上可知，存在常数c＝23，使得不等式x2x＋y＋yx＋2y≤c≤xx＋2y＋y2x＋y对任意正实数x，y恒成立．