浅谈数学分析中求极限的常用方法.

浅谈数学分析中求极限的常用方法-I-浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminaryanalysisonthecommonmethodoflimitprobleminmathematicalanalysis浅谈数学分析中求极限的常用方法-II-摘要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。因此要学好数学分析，就要学好极限。解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。关键词：数列极限；函数极限；方法浅谈数学分析中求极限的常用方法-III-PreliminaryanalysisonthecommonmethodoflimitprobleminmathematicalanalysisAbstractLimitproblemisthebaseofmathematicalanalysis.Itcanbedividedintofunctionlimitandsequencelimit,bothofthemareveryimportant.Maryotherimportantmathematicalideasarebasedonlimit,suchasderivativeintegralandprogression.Ifonewantstolearnmathematicalanalysiswell,hemustlearnlimitwell.Itisusuallyveryhardtosolvelimitproblem,itseemstobesimple,butratherabstractinfactwecannotberestrictedtosolvelimitproblembyusingtheconceptoflimit.Weshouldmastermultiplemethodsandusethemtogethertosolvethelimitproblemquicklyandaccurately.Limitexistsinthewholeprocessofmathematicalanalysismanymathematicalconceptsstartfromlimit.Onthecontrary,wecanusetheseconceptstosolvelimitproblem.Allthesearenoeasythings.Becauseoftheabstractoflimitproblem,weshouldlearnmultipleofmethodsinatargetwayandeventuallycombinethemtosolvelimitproblem.Wecanseethatsolvinglimitproblemisverycomplicated.Aimingatthiscircumstances,thisarticleintroducemultiplebasicwaystosolvetheproblemandmasterneedingattention,Thecalculationofexampleshowsthesolvingprocessoflimitproblem.Itmakelimitproblemeasiertounderstandandprovideafootholdforthestudyofmathematicalanalysis.浅谈数学分析中求极限的常用方法-IV-目录摘要................................................................................................................................IAbstract................................................................................................................................III引言...............................................................................................................................11极限相关的概念.............................................................................................................21.1数列极限...............................................................................................................21.2函数极限...............................................................................................................21.3函数极限和数列极限的关系...............................................................................32求极限的常用方法.........................................................................................................42.1极限的四则运算法则...........................................................................................42.2两个重要极限.......................................................................................................52.3用函数的连续性求极限.......................................................................................72.4等价无穷小代换...................................................................................................82.5洛必达法则...........................................................................................................92.6根据定积分的定义求极限.................................................................................112.7利用泰勒公式求极限.........................................................................................122.8利用极限存在准则求极限.................................................................................132.9拉格朗日中值定理求极限.................................................................................153求极限的小技巧.............................................................................................................153.1有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量.................................................163.2换元法.................................................................................................................163.3数列极限转化成函数极限.................................................................................17结论.............................................................................................................................18参考文献.......................................................................................................................19浅谈数学分析中求极限的常用方法–1–引言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。例如求导数、积分、级数都是建立在极限概念之上的，所以我们要培养极限思想，首先，我们应该学会计算极限问题。我国古代，数学家刘徽首创割圆术，便是首次在解决问题中运用了极限思想。所谓割圆术就是不断地增加圆内接多边形的边数来求得圆周率。即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”。极限思想从产生、发展到完善经历了很长时间的历史过程。到了19世纪时，法国数学家柯西通过总结前人的成果的基础上，才比较完整的阐述了极限的概念与理论。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。极限的概念与理论为后人研究极限提供了更好的基础。本文，笔者将对常用的求极限的方法进行总结，并以例题形式加深了解。通过此种方式，使读者掌握求极限的方法和技巧。浅谈数学分析中求极限的常用方法–2–1极限相关的概念[1]极限的概念对于求极限问题是基础，我们要从基本概念出发，要清晰的明确极限问题，才可以更深入的解决极限问题，所以，首先我们要了解掌握相关的概念。1.1数列极限定义1.1设nx是一给定数列，a是一个实常数。如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当Nn时，成立axn，则称数列nx收敛于a（或a是数列nx的极限）