里兹法

里兹法里兹法是近似计算的经典方法。它是势能驻值原理具体应用的典型范例。里兹法的基本思路是：将无限自由度体系近似地用有限自由度体系来代替，应用势能原理求得代用体系的精确解，从而求得原体系的近似解。里兹法的具体做法是：选择一组满足求解域位移边界条件的试函数作为实际问题的近似解。显然，近似解的精度与试函数的选择有关，如果精确解包含在试函数族中，由里兹法将得到精确解。例1试用里兹法求图1.4所示悬臂梁的挠度方程。设梁线弹性，EI为常数。解：1.选取可能位移状态此悬臂梁应满足的位移边界条共有两个，即在固定端A处的挠度v和转角dxdv应为零。符合这两个条件的可能位移状态有无限多个，这是一个无限自由度体系。在近似分析中，我们假设挠曲线为一个多项式v=a1x2+a2x3+…+anx1n(1)由于在x=0处要满足v=dxdv=0的条件，故在式（1）中没有包含常数项和一次项。式（1）中共有n个任意参数a1，a2，…，an，只要这n个参数定义了，梁的挠度方程也就确定了，所以梁的变形决定于这n个任意参数。这里决定变形状态的参数个数就是体系的自由度。采用式（1）所表示的多项式，就相当于把原来的无限自由度体系近似地作为n个自由度体系来看待。2.按单自由度体系计算在式（1）中只取第一项，即挠度方程为v=a1x2(2)这时把梁按单自由度体系计算，体系势能为∏=U－PvB其中2221100()(2)222llEIEIUvdxadxEIla21Bval因此2112EIlaPla由势能驻值原理有21140dEIlaPlda求得14PlaEI代入式（2），得24PlvxEIB点的挠度为34BPlvEI与精确解33BPlvEI相比，误差较大。3.按两个自由度体系计算为了提高精度，在式（2）中保留前两项v=a1x2+a2x3(3)即把梁当做两个自由度体系看待，这时22221211220(26)2(33)2lEIUaaxdxEIlalaaal222231122122(33)()EIlalaalaPalal势能驻值条件为21212312202(23)002(36)0EIlalaPlaEIlalaPla由此可得12PlaEI,26PaEI代入式(3),挠度方程为23(3)6PvlxxEI（4）式（4）实际上就是挠度的精确解。这里，由于选取的试函数（可能位移状态）式（1）中已经把真实位移状态包含在内，故最后所得结果就是精确解。例2用里兹法求图2小节变截面桁架柱的临界荷载。设221xxIIel，121IeI,坐标系如图2所示。图2解：令123coscos22xxyaall2222200122llEIxPUVeydxydxl将y代入∏式，注意到积分值02sinsin220llmnmxnxdxllmn2223206cos26lxxdxll232033cos.cos.224lxxxdxlll222320332cos.218lxxdxll若令222PlkEI，则22221122222162732.1.818192239EIUVaekaaeaek求1a、2a的偏导数，并令其为零，即2122216272103kaeaa212222273228181909eaekaa1a、2a的系数行列式为零，即2(10.1307)2.735702.73572(8125.1769)ekeeek展开后有22(102.928)(93.9740.158)0kkeee当120.2II时，e=0.8,上面方程为27.65765.92190kk222222.15350.87284crkEIEIkPll比精确解221.593crEIPl大35.2%。当120.8,0.2IeI时，上面方程为29.41448.21150kk222222.40.97274crkEIEIkPll比精确解*222.311crEIPl大3.8%。近似解的误差随12II的减小而增大。