高中线性规划练习(含详细解答)

第1页共8页线性规划练习一、“截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)zaxbyabR的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.(2012年高考·辽宁卷理8)设变量,xy满足-100+20015xyxyy，则2+3xy的最大值为A．20B．35C．45D．55解1、选D；【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点5,15A时，2+3xy的最大值为55，故选D.练习1．(2012年高考·山东卷理5)的约束条件2441xyxy，则目标函数z=3x－y的取值范围是A．[32，6]B．[32，－1]C．[－1，6]D．[－6，32]1、选A；【解析】作出可行域和直线l：03yx，将直线l平移至点)0,2(处有最大值，点)3,21(处有最小值，即623z.∴应选A.二.“距离”型考题1.【2010年高考·福建卷理8】设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线3490xy对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,||AB的最小值等于()A.285B.4C.125D.21、选B；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由题意知，所求的||AB的最小值，即为区域1中的点到直线3490xy的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490xy的距离最小，故||AB的最小值为|31419|245，所以选B。第2页共8页2、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解2：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C三.“斜率”型考题1.已知变量,xy满足约束条件20170xyxxy，则yx的取值范围是______.解：由7020xyxy得59,22A∴959/225OAk；由701xyx得1,6B∴661OBk∵yx表示过可行域内一点,xy及原点的直线的斜率∴由约束条件画出可行域（如图），则yx的取值范围为,OAOBkk，即9,65；2、设,xy满足约束条件04312xyxxy，则231xyx取值范围是（）.A[1,5].B[2,6].C[3,10].D[3,11]答案B练习1、若实数x、y满足10,0xyx则yx的取值范围是（）A.(0,1)B.0,1C.(1,+)D.1,2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA第3页共8页图3yxO-11ABOab1图5解、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，yx表示平面区域内的动点(,)xy与原点(0,0)O之间连线的斜率，由图易知，yx1,，选C.评注：在线性约束条件下，对于形如(,)ybzabRxa的目标函数的取值问题，通常转化为求点(,)xy、(,)ab之间连线斜率的取值.结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点.在本题中，要合理运用极限思想，判定yx的最小值无限趋近于1.四.“平面区域的面积”型考题1.【2012年高考·重庆卷理10】设平面点集221(,)()()0,(,)(1)(1)1AxyyxyBxyxyx，则AB所表示的平面图形的面积为A34B35C47D2解1、选D；【解析】由对称性：221,,(1)(1)1yxyxyx围成的面积与221,,(1)(1)1yxyxyx围成的面积相等，得：AB所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1yxxy围成的面积既2122R2.（2007年高考·江苏卷理10）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{(,)|1,Axyxy且0,0}xy，则平面区域{(,)|(,)}BxyxyxyA的面积为（）A．2B．1C．12D．14解2、选B；【解析】令,axybxy，则11(),()22xabyab，代入集合A，易得0,0,1ababa，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为21×2×1＝1，∴选B.3.（2008年高考·安徽卷理15）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为.解3、答案74；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域A，Dl图6l2CBAyxO11-2-22l1第4页共8页其中：12:,:2,:1lxyalxylxy.当a从－2连续变化到1时，动直线l扫过的平面区域即为1l与2l之间的平面区域，则动直线l扫过A中的那部分平面区域的面积即为四边形BOCD的面积，由图易知，其面积为：74ABOADCSSS.练习1.若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是（A）73（B）37（C）43（D）34高解1、选A；【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434xyxy得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）∴S△ABC=144(4)1233，设ykx与34xy的交点为D，则由1223BCDSSABC知12Dx，∴52Dy，∴5147,2233kk，选A.2.若0,0ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1byax，则以a,b为坐标点(,)Pab所形成的平面区域的面积等于__________.解2、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，要使得恒有1byax成立，只须平面区域顶点,,AOB的坐标都满足不等式1byax，易得01,01,ab所以(,)Pab所形成的平面区域的面积等于1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可.作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.五.“求约束条件中的参数”型考题规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.图7x+y=111OxyABAxDyCOy=kx+43第5页共8页）（3,0）（0,3），（23-0)3,(mmxy21.在平面直角坐标系中，若不等式组101010xyxaxy（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为A.－5B.1C.2D.3解1、选D；【解析】作出不等式组101010xyxaxy所围成的平面区域.如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入10axy得a=3，故选D.点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程10axy中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确10axy可变形为1yax的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解.2.【2012年高考·福建卷理9】若直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，则实数m的最大值为（）A．21B．1C．23D．2解2、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.解答：可行域如图：所以，若直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，则mm23，即1m。3.设二元一次不等式组2190802140xyxyxy，，≥≥≤所表示的平面区域为M，使函数(01)xyaaa，的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1，3]B．[2，10]C．[2，9]D．[10，9]64224105510oACB第6页共8页xyO331330xy230xy32123(,)77(4,5)Ayx10xmy解3、选C；【解析】区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中(1,9),(3,8),(2,10)ABC，使函数(01)xyaaa，的图象过区域M,由图易知1a，只须区域M的顶点,AB不位于函数xya图象的同侧，即不等式3(9)(8)0aa(a＞0，a≠1)恒成立，即29.a评注：首先要准确画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.练习：1.设m为实数，若{250(,)300xyxyxmxy}22{(,)|25}xyxy，则m的取值范围是___________.解1、答案4[0,]3；【解析】如图10，直线:,lymx14:3lyx，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线l应位于直线1l与x轴之间（包括直线1l及x轴），即403m，所以m的取值范围是4[0,]3.评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解决本题的第一突破口；另外，在直线l的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置1l、x轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.2.（2010年高考·浙江卷理7）若实数x，y满足不等式组330,230,10,xyxyxmy且xy的最大值为9，则实数m（）A2B1C1D2解2、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用xy的最大值为9，确定区域的边界．【规范解答】选C．令zxy，则yxz，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距．当z最大值为9时，yxz过点A，因此10xmy过点A，所以1m．六.“求目标函数中的参数”型考题y=ax2x+y-14=0x+2y-19=0BAyxO1x-y+8=0图12C3l5-5C图10l1yxOBA第7页共8页图14CBAx-y+2=03x-y-6=0oyx1.（2009年高考·陕西卷理11）若x，y满足约束条件1122xyxyxy，目标函数2zaxy仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（4，2）C．(4,0]D．(2,4)解1、选B；【解析】如图，阴影部分△ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，(3,4)B，(0,1)C，目标函数2zaxy对应直线l，直线l的斜率为2a，在y轴上的截距为2z.∵目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，∴直线l落在的直线x＋y=1按逆时针方向旋转到直线2x－y=2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得－12a2，解得－4a2，选B.评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标函数中所含的未知参数，对于这类问题，关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的点.2.（2009年高考·山东卷理12）设x，y满足约束条件0,002063yxyx