2017人教版中考数学第15讲《函数的综合应用》

第15讲函数的综合应用1．解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，kx＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围．3．每个二元一次方程组都对应两个一次函数，方程组的解就是这两条直线交点的横、纵坐标.考点一一次函数与方程(组)、不等式温馨提示求两个一次函数图象的交点坐标，就是解这两个一次函数对应的方程所组成的方程组的解.考点二二次函数与一元二次方程判别式情况Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0判别式情况Δ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根温馨提示一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在函数图象上就是求抛物线与x轴交点的横坐标.1．直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解及比较大小等问题．2．直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程的解及比较大小等问题．3．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题．考点三函数的综合应用4．利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．5．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性．6．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合．7．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．考点一在同一坐标系中确定多个函数的图象例1(2013·张家界)若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象在同一坐标系中大致是()【点拨】∵在正比例函数y＝mx中，y随x的增大而减小，∴m＜0，∴正比例函数的图象经过第二、四象限．又∵m＜0，∴二次函数y＝mx2＋m的图象开口向下，顶点坐标是(0，m)，在y轴的负半轴上．观察四个图象可知，选A.【答案】A方法总结给定系数不同的范围，分析两个函数图象的特征，能统一的就是正确的.考点二利用函数图象解方程(组)或不等式例2(2013·黔西南)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x＜ax＋4的解集为()A．x＜32B．x＜3C．x＞32D．x＞3【点拨】把点A(m,3)代入函数y＝2x中，得m＝32，∴A(32，3)．根据图象可以得出不等式2xax＋4的解集为x＜32.故选A.【答案】A方法总结利用图象求不等式2x＜ax＋4的解集，实质就是求当x在什么范围内时，函数y＝2x的图象在y＝ax＋4的图象的下方；比较两个函数值的大小，关键是找出图象的上下位置与自变量的取值范围的关系.考点三一次函数与反比例函数的综合应用例3(2013·聊城)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝－8x的图象在第二象限交于点C.如果点A的坐标为(2,0)，点B是AC的中点．(1)求点C的坐标；(2)求一次函数的解析式．【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．解：(1)如图，作CD⊥x轴于点D，则CD∥BO，∵点B是AC的中点，∴点O是AD的中点．∴点D的横坐标为－2.把x＝－2代入y＝－8x中，得y＝4，因此点C的坐标为(－2,4)．(2)设一次函数的解析式为y＝ax＋b，由于A，C两点在其图象上，∴0＝2a＋b，4＝－2a＋b，解得a＝－1，b＝2.∴一次函数的解析式为y＝－x＋2.方法总结1.在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象，是各类考试中常见的题型，解决此类问题一般需要分类讨论.2.用待定系数法求两个函数的解析式的问题，关键是设法找出图象交点的坐标，然后运用待定系数法求函数的解析式.考点四函数知识的综合应用例4(2013·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0，－1)．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P的坐标；(3)在(2)的基础上，设直线x＝t(0t10)与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大？并求出最大值．【点拨】本题考查一次函数、二次函数与圆等知识的综合应用．解：(1)∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.由抛物线过点B(0，－1)，得4a＝－1，∴a＝－14.∴抛物线的解析式为y＝－14(x－2)2.即y＝－14x2＋x－1.(2)设点C的坐标为(x，y)．∵点A在以BC为直径的圆上，∴∠BAC＝90°.如图，作CD⊥x轴于点D，连接AB，AC.∵∠BAO＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°，∴∠BAO＝∠DCA.∴△AOB∽△CDA.∴OBAD＝OACD.∴OB·CD＝OA·AD，即1·|y|＝2(x－2)，∴|y|＝2x－4.∵点C在第四象限，∴y＝－2x＋4.由y＝－2x＋4，y＝－14x2＋x－1，得x1＝10，y1＝－16，x2＝2，y2＝0.∵点C在对称轴右侧的抛物线上．∴点C的坐标为(10，－16)．∵点P为圆心，∴P为BC的中点．取OD的中点H，连接PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH＝12(OB＋CD)＝172.∵点D(10,0)，∴点H(5,0)，∴圆心P的坐标为(5，－172)．(3)如图，连接BN，CN，设点N的坐标为(t，－14t2＋t－1)，直线x＝t(0t10)与直线BC交于点M.S△BMN＝12MN·t，S△CMN＝12MN·(10－t)，∴S△BCN＝S△BMN＋S△CMN＝12MN·10.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∵直线BC经过B(0，－1)，C(10，－16)，∴b＝－1，10k＋b＝－16，解得k＝－32，b＝－1.∴直线BC的解析式为y＝－32x－1.则点M的坐标为(t，－32t－1)，MN＝－14t2＋t－1－(－32t－1)＝－14t2＋52t.S△BCN＝12(－14t2＋52t)×10＝－54t2＋252t＝－54(t－5)2＋1254.∴当t＝5时，S△BCN有最大值，最大值是1254.1．若反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是(A)A．－2B．－1C．1D．2解析：∵反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，∴方程组y＝kxy＝x＋2无解．∴方程kx＝x＋2无解．即x2＋2x－k＝0无解．∴Δ＝4－4×(－k)＜0.解得k＜－1.故选A.2．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1,2)，B(1，－2)两点，若y1y2，则x的取值范围是(D)A．x－1或x1B．x－1或0x1C．－1x0或0x1D．－1x0或x1解析：y1＜y2表示的是反比例函数的图象位于一次函数图象的上方，由图可知，满足条件的是位于点A与原点之间和点B右侧的部分，故x的取值范围是－1＜x＜0或x＞1.故选D.3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝ax与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是(D)解析：由二次函数的图象可知，c＝0，a＜0，b＜0.所以反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限和原点．故选D.4．设函数y＝2x与y＝x－1的图象的交点坐标为(a，b)，则1a－1b的值为－12.解析：把(a，b)分别代入两个函数，得b＝2a，b＝a－1，即ab＝2，b－a＝－1.∴1a－1b＝b－aab＝－12＝－12.5．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝k2x(x＞0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．(1)求函数y1的解析式和B点坐标；(2)观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．解：(1)把点(2,1)，(0,3)分别代入y1＝k1x＋b中，得2k1＋b＝1，b＝3.解得k1＝－1，b＝3.∴y1＝－x＋3.把点(2,1)代入y2＝k2x中，得k2＝2.∴y2＝2x.解方程组y1＝－x＋3，y2＝2x，得x＝1y＝2或x＝2，y＝1.∴点B(1,2)．(2)由图象可知，当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2；当1＜x＜2时，y1＞y2；当x＝1或x＝2时，y1＝y2.6．已知抛物线C1的函数解析式为y＝ax2＋bx－3a(b＜0)，若抛物线C1经过点(0，－3)，方程ax2＋bx－3a＝0的两根分别为x1，x2，且|x1－x2|＝4.(1)求抛物线C1的顶点坐标．(2)已知实数x＞0，请证明x＋1x≥2，并说明当x为何值时，才会有x＋1x＝2?(3)若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m，y1)，B(n，y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时直线OA的一次函数解析式．(参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点间的距离为x2－x12＋y2－y12)解：(1)∵抛物线C1过(0，－3)点，∴－3a＝－3.∴a＝1.∴y＝x2＋bx－3.∵x2＋bx－3＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3.又∵|x1－x2|＝4，∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝4且b＜0.∴b＝－2.∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－4)．(2)∵x＞0，∴x＋1x－2＝(x－1x)2≥0.∴x＋1x≥2，显然当x＝1时，才有x＋1x＝2.(3)由平移知识易得C2的解析式为y＝x2.∴A(m，m2)，B(n，n2)．∵∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2.∴m2＋m4＋n2＋n4＝(m－n)2＋(m2－n2)2，化简，得mn＝－1.∵S△AOB＝12OA·OB＝12m2＋m4·n2＋n4∵mn＝－1，∴S△AOB＝122＋m2＋n2＝122＋m2＋1m2＝12m＋1m2＝12(m＋1m)≥12×2＝1.∴S△AOB的最小值为1，此时m＝1，A(1,1)，∴直线OA的一次函数解析式为y＝x.考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知反比例函数y＝bx(b为常数，且b≠0)，当x0时，y随x的增大而增大，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第______象限．(B)A．一B．二C．三D．四2．(2013·聊城)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是(C)ABCD解析：由抛物线开口向下，可得a＜0.由对称轴在y轴右侧，可得－b2a＞0，即b＞0.而当a＜0，b＞0时，一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限．故选C.3．等腰三角形的周长为4，当底边长y是腰长x的函数时，此函数的图象是(C)解析：由题意，得y＝4－2x(1x2)．故选C.4．(2013·呼和浩特)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(D)ABCD解析：当m＞0时，函数y＝mx＋m经过第一、二、三象限，同时y＝－mx2＋2x＋2开口向下，无符合的图象；当m＜0时，函数y＝mx＋m经过第二、三、四象限，同时y＝－mx2＋2x＋2开口向上，且对称轴在y轴左侧．故选D.5．如图所示，函数y1＝x－1和函数y2＝2x的图象相交于点M(2，m)，N(－1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是(D)A．x＜－1或0＜x＜2B．x＜－1或