伴随矩阵的性质及应用汇总

中山大学本科毕业论文（设计）（2016届）题目：伴随矩阵及其应用姓名：学号：学院：数学学院专业：指导老师：申请学位：I摘要伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A的伴随矩阵A*的性质也是非常重要的.在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例.关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值IIAbstractAdjointmatrixisanimportantconceptinhigheralgebra,itcanderiveinversematrixcalculationformula,soastosolvetheinverseproblemofmatrixinversion.AtthesametimeonmatrixAwiththenatureofthematrixAisalsoveryimportant.Inthecurrentteachingofhighermathematics,adjointmatrixisonlyforsolvinginversematrixappeared,lessinvolvedinthecontent,andnoin-depthstudy.Therefore,thispapermainlystudiesthepropertiesofadjointmatrixinsymmetry,contract,positivedefinite,orthogonalandcharacteristicpolynomial,characteristicvalue,andgivenwithwithmatrixinthepracticalproblemsincomprehensiveapplicationexamples.Keywords:adjointmatrix,orthogonalmatrix,positivedefinitematrix,reversiblematrix,characteristicpolynomial,eigenvalue.目录摘要........................................................................IAbstract....................................................................II1.引言.....................................................................12.伴随矩阵的基本性质.......................................................23.伴随矩阵的实际应用.......................................................63.1利用伴随矩阵求逆矩阵..................................................63.2由伴随矩阵推导原矩阵..................................................63.3伴随矩阵基本性质的直接应用...........................................63.4伴随矩阵秩的应用......................................................8参考文献....................................................................9伴随矩阵及其应用11.引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点.那么我们首先来了解一下什么是伴随矩阵，在给出伴随矩阵的定义之前，先给出余子式和代数余子式的定义.定义1nn阶行列式111111jniijinnnjnnaaaaaaDaaa的某一元素ija的余子式ijM指的是在D中划去ija所在的行和列后所余下的1n阶子式.定义2n阶行列式D的元素ija的余子式ijM附以符号ij后，叫作元素ija的代数余子式，用符号ijA表示，ijijijAM.定义3设ijA是矩阵A111212122212nnnnnnaaaaaaaaa中元素ija的代数余子式，那么矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.定义4一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩，记作rA.伴随矩阵中有两个常用的公式公式一*AAAAAI.公式二11AAA，其中I是单位矩阵，1A是矩阵A的逆矩阵，A是矩阵A的行列式.证明设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，由于1122=0,ijijinjnAijaAaAaAij，，因此伴随矩阵及其应用21112111211212221222212120000=0nnnnnnnnnnnnaaaAAAAaaaAAAAAAAIaaaAAAA，同理AAAI，公式一得证.当A是可逆矩阵时，0A，由公式一可得*1AAA*1AAAI，即11AAA.注：公式二给出了矩阵A的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的.高等代数教材中给出的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用.2.伴随矩阵*A的基本性质性质1设A是n阶矩阵，则*10nrAnrArAnrAn证明当rAn时，则A可逆，0A，由AAAI可知，nAAAAA，即10nAA，所以A可逆，rAn.当1rAn时，A中至少有一个1n阶子式不为0，即A中至少有一个元素不为0，因此rA≥1.又因为1rAn，则A不是满秩矩阵，所以0A.由AAAI,可知0AA,又因为rArAn≤，把1rAn代入，可知rA≤，综上可得1rA.当1rAn时，可知A的所有1n阶子式均为0，即A的所有元素均为0，于是A，所以rA.性质2TTAA，其中TA表示矩阵A的转置矩阵.证明设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，则TA的第i行第j列元素为jia，TA的第i行第j伴随矩阵及其应用3列元素为ijA，A的第i行第j列元素为jiA，TA的第i行第j列元素为ijA，因此TTAA.性质311nAAn.证明当A可逆，即A时，因为AAA，所以1nnAAAAAA，当A不可逆，即A时，0A，可得1nAA.性质422nAAAn≥.证明当2n，即A为二阶矩阵时，设abAcd，则dbAca，abAcd，故22AAAA.当n时，根据A是否可逆分两种情况考虑.①A可逆，即0A,由性质3可知111211nnnAAAAAAAAAA②A不可逆，即0A,可知1rAn≤.若()1rAn，则1rAn，可知rA，从而20nAAA.若1rAn，则rA，即0A，故20nAAA.性质5当A可逆时，11AAAA.证明由AAAI可知，AAA,而1AAAAA,故1AA.性质6设k为常数，11nkAkAn.证明111111=nnnkAkAkAkAkAkkAAkA.性质7ABBA.证明①当AB时，11111ABABABABBABBAABA**·.②当0,0AB时，令AxxEA,BxxEB，则存在无穷多个x，使得伴随矩阵及其应用4,AxBx.Ax与Bx均可逆，所以AxBxBxAx，该等式两端的元素是关于x的有限次多项式，因为存在无穷多个x，这意味着存在无穷多个数使得对应的多项式相等，即上式对任意的x都成立.当0x时，得ABBA.伴随矩阵A是由矩阵A决定的，所以矩阵A所具有的特点伴随矩阵A一样具备.性质8若A为正交矩阵，则A也是正交矩阵.证明若A为正交矩阵，则2,1TTAAAAIA，于是有**11TTAAAAAA22111111TTTAAAAAAAAII.同理，**TAAI,故A也为正交矩阵.性质9若矩阵A与B合同，且A与B可逆，那么A与B也合同.证明因为矩阵A与B合同，由矩阵合同的定义可知，存在可逆矩阵P，使得TPAPB，又A与B可逆，则1111TPAPB,令1TCP，有11TCACB，又2PAB，则有11TPCAAPCBB,令QPC，则QPC是可逆矩阵且TQAQB，因此A与B也合同.性质10若A为对合矩阵，即2AI,则A也为对合矩阵.证明若A为对合矩阵，则2AI，则222121221AAAAAAAI，因此A也是对合矩阵.性质11若A是一个n阶正定矩阵，则A也是正定矩阵.证明因为A是正定矩阵，A，故存在可逆矩阵P，使得TPAPI，那么有TPAPI，由性质7可知TTPAPPAPII，所以A也是正定矩阵.性质12若A是一个n阶实对称矩阵，则A也是对称矩阵.证明因为A是实对称矩阵，有TAA，由性质2可知，TTAA，所以TTAAA，故A也是对称矩阵.性质13若A是n阶可逆的，则A可表示成A的多项式.伴随矩阵及其应用5证明设A的特征多项式为12121nnnnnfIAaaaa，由于A可逆，故可知0nnfaA.由哈密顿-凯莱定理可得fA111nnnAaAaA0nnaI，即111nnnnnAaAaAaI，进而可得121211nnnnnnAAaAaAaIanI，故1121211nnnnnnAAaAaAaIa.由1AAA，所以1nnAAAa2121nnnnaAaAaI1121nnnAaA21nnnaAaI.注：哈密顿-凯莱定理：设n阶矩阵A的特征多项式为1212nnnnnfaa10aa，1na，则矩阵A满足特征方程，即1212100nnnnnfAAaAaAaAa性质14若A是可逆矩阵，是其特征值，是A的属于的特征向量，那么A的特征