搜索
8.1.1数轴上的距离公式与中点公式【教学目标】1.理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．2.掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．3.培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】数轴上的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图引入1．数轴2．数轴上的点与实数是对应的．师：人类早期用石子来记数，但是石子记数不能移动，无法携带，于是人们又想到了用结绳等方法记数．我国古书《易经》上记载有“结绳记数”的历史，即在一根长绳上打上结表示数．随着社会的进步，记数的方法也越来越准确、科学．到了17世纪，法国数学家笛卡儿发明了用直线和直线上的点来表示数的方法，这就是我们现在仍在沿用的数轴表示数的方法．师：数轴的三要素是什么？学生回答，教师展示数轴．通过引入激发学生学习的兴趣．新课1.数轴上点的坐标在数轴上，如果点P与x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．师：平面上我们用一对有序实数来表示一个点的位置，在数轴上，我们应当怎么表示一个点的位置呢？学生思考问题．教师投影，给出数轴上点的坐标的定义及记法．学生理解概念，教师强调记法．由二维坐标到一维坐标，似乎违反了人的认知规律，但在以往的学习中，学生对两维坐标是熟悉的．通过类比平面坐标得到轴上坐标，学生容易理解．x01234－1－2－3－4x01234－1－2－3－4P●新课练习一观察数轴，完成下列题目：（1）点P与－3.5对应，则点P的坐标是，记作；（2）点A的坐标是，记作；（3）点B的坐标是，记作；（4）点O的坐标是，记作．2.数轴上的距离公式探究一如图，填空：（1）图中点A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，点D的坐标是；（2）点A与B之间的距离|AB|=，点C与A之间的距离|CA|=，点B与C之间的距离|BC|=；（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离公式为|AB|=|x2－x1|．探究二在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？试求两个图中点A与B之间的距请同学们结合定义抢答下列问题．学生回答，教师点评．教师投影提出问题，学生分组讨论探究．教师巡视．第(2)题主要是引导学生从图象上直观地求距离．学生在尝试解决问题(3)的过程中，使认知得到升华．在探究的基础上，教师给出数轴上两点的距离公式．教师提出问题，学生观察并尝试解决．师：不管数轴在平面上怎么放置，两点间的距离公式是不变的．强化新知识的记忆与应用，以形成学生内在的素质．让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳出数轴上两点间的距离公式，形成知识的主动认知．使学生由感性认知（算法）上升到理性认知（公式）．探究二使学生认识到非水平放置的数轴上的两点间的距离公式是不改变的，特别是竖直放置的数轴上的距离问题，为下节解决平面直角坐标系中两点间的距离公式打下基础．x01234－1－2－3－4P●●●BAO●x01234－1－2－3－4●●CAD●●By01234－1－2－3－4A●●B●x01234－1－2－3－4A●B新课离．3.数轴上的中点公式探究三根据下图回答问题：（1）点A(－1)，C(－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A，C两点的坐标有怎样的关系？（2）点A(－1)，D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与A，D两点的坐标有怎样的关系？一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标x满足关系式x＝x1＋x22．4.应用例已知点A(－3)，B(5)，求：（1）|AB|；（2）A，B两点的中点坐标．解（1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；（2）设点M(x)是A，B两点的中点，则x＝－3＋52＝1．即A，B的中点坐标为1．练习二已知点A(－6)，B(－1)，C(2)，D(4.5)，E(7)，求：（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；（2）A，B的中点坐标，B，E的中点坐标．教师投影提出问题，学生分组讨论探究．教师巡视．学生在尝试解决问题的过程中，探究中点公式．在探究的基础上，教师引导学生归纳出数轴上两点的中点公式．教师投影，先让学生思考，小组内合作尝试解答．教师在学生思考的基础上，找个别学生回答，并给予点评．小组合作完成，并采用抢答形式，提高课堂学习气氛．教师针对学生的解答给予点评．让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳得出数轴上两点间的中点公式．在实践中应用本节知识解决有关数轴上的距离和中点问题．检验并强化本节知识的应用．小结1．数轴上点的坐标．2．数轴上两点间的距离公式．3．数轴上两点的中点公式．回顾本节主要内容，强化一个定义及两个公式．简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业学生标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．x012－1－2－3●●CAD●8.1.2平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1.了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2.掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．3.培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质．【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图引入1．一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离为|AB|＝|x2－x1|．2．一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标x满足关系式x＝x1＋x22．师：上节我们学习了数轴上两点的距离公式与中点公式．那么在平面直角坐标系内，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求这两点的距离？如何计算这两点的对称中心的坐标？提出问题，激发学生的学生兴趣．新课1.距离公式探究一如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C．两点的距离公式|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2．探究二求两点之间的距离的计算步骤：教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解：（1）以上四个垂足的坐标分别是多少？（2）|AC|与|A1B1|关系如何？如何求|A1B1|？（3）|BC|等于多少？（4）在直角三角形ABC中，如何求|AB|？（5）你能表示出|AB|吗？教师在学生探究的基础上，投影距离公式，并让学生记忆．师：你能说出求平面上将探究问题细化为5个小问题，层层递进，降低了问题的难度，从而有利于学生解答．为了学生便于理解，课件中将过A，B两点向x轴和y轴做垂线的过程，分解为分别向x轴做垂线和向y轴做垂线xyBACA1A2B2B1O新课S1给两点的坐标赋值x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？S2计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；S3计算d＝d2x＋d2y；S4给出两点的距离d．例1已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|AB|．解因为x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3，所以dx＝x2－x1＝－2－2＝－4，dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7．因此|AB|＝d2x＋d2y＝(－4)2＋72＝65．练习一求两点之间的距离：（1）A(6，2)，B(－2，5)；（2）C(2，－4)，D(7，2)．2.中点公式探究三如图所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M(x，y)是A，B的对称中心，即线段AB的中点．过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2．在平面直角坐标系内，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)的坐标满足两点间距离的步骤吗？教师引导学生探究依据公式求两点距离的步骤．教师引导学生结合求平面上两点间的距离的步骤解答．学生练习，教师巡视指导．教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：（1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？（2）点M是AB中点吗？M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（4）你能写出点M的坐标吗？教师投影结论，学生理两步．在探究过程中，进一步深化对公式的理解与掌握．通过例题的解答，使学生明确求两点间距离的步骤．检验学生对公式掌握情况．将问题细化为4问，降低难度，学生容易在解答过程中得到公式．xyBAA1A2B2B1OM1M2M新课x＝x1+x22，y＝y1+y22．例2求证：任意一点P(x，y)与点P(－x，－y)关于坐标原点成中心对称．证明设P与P的对称中心为(x0，y0)，则x0＝x+(－x)2＝0，y0＝y+(－y)2＝0．所以坐标原点为P与P′的对称中心．练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．例3已知坐标平面内的任意一点P(a，b)，分别求它关于x轴的对称点P′，关于y轴的对称点P′′的坐标．练习三求下列点关于x轴和y轴的对称点坐标：A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．例4已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．解因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D的坐标为(x，y)，则x+22＝－3+52＝1y－22＝0＋22＝1解掌握．师：例2中，点P与P′的对称中心是P与P′的中点吗？坐标怎么求？是多少？教师强调本例题的结论．学生抢答，教师点评．师：（1）如果点P与P′关于x轴对称，PP′与x轴垂直吗？P′的横坐标是多少？（2）PP′与x轴的交点M是线段PP′的中点吗？M点的纵坐标是多少？（3）你能求出P′的纵坐标吗？怎么求的？（4）由以上分析，点P′的坐标是多少？（5）你能求出P′′的坐标吗？教师在学生探究的基础上进行总结．学生抢答，教师点评．教师引导学生解答，强调AC的中点与BD的中点相同．教师规范解题步骤．将问题化归为求点P与P的中点坐标．检验对例2所得结论的掌握．检验例3的掌握情况．利用中点公式解决实际问题，进一步强化对公式的理解和掌握．xyP(a，b)OPP●●●M●新课解得x＝0y＝4所以顶点D的坐标为(0，4)．练习四已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点D的坐标．学生练习，教师巡视．强化训练．小结1．直角坐标系中两点间的距离公式．2．直角坐标系中两点的中点公式．3．点的对称．教师引导学生回顾总结本节所学内容．简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．作业标记作业．针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．8.2.1直线与方程【教学目标】1.理解直线的方程的概念，会判断一个点是否在一条直线上．2.培养学生勇于发现、勇于探索的精神，培养学生合作交流等良好品质．【教学重点】直线的特征性质，直线的方程的概念．【教学难点】直线的方程的概念．【教学方法】这节课主要采用分组探究教学法