逻辑学(北大精品课)02

主讲人：何向东--进入--第二章命题逻辑第一节命题逻辑概述2020年4月4日星期六3命题（1）西南大学在重庆。（2）闪光的东西都是金子。（3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。符合实际的命题是真命题，不符合实际的命题是假命题。上述（1）是真命题;而（2）、（3）是假命题。命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：命题的主要特征：命题有真假2020年4月4日星期六4命题和语句首先，有的语句不能直接表达命题，如：（1）西南大学在重庆吗?（2）请把门关上！一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如：“所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。再次，同一语句，可以表达不同的命题，如：小张将书还给小王，因为他要回家了。任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：语句(陈述句和反诘句)有内涵也有外延:语句的内涵即它表达的命题；语句的外延即真、假这两个真值。采用这种观点的逻辑理论，称为二值外延逻辑或经典逻辑。逻辑学上所说的命题，一般指这种或者为真或者为假的抽象语句。2020年4月4日星期六5命题和判断一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被断定就与断定者的知识水平有很大关系。充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的只是前件是后件的充分条件。判断：就是被断定者断定了的命题。判断的主要特征：有所断定。2020年4月4日星期六6命题的分类模态命题命题非模态命题简单命题复合命题2020年4月4日星期六7命题分析的层次将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待——研究关于联结词的推理(命题逻辑)深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联结词——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)把命题中包含的模态词分析出来——研究关于模态词的推理(模态逻辑)2020年4月4日星期六8逻辑语形学与逻辑语义学逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为取真假值的命题变元，把∧、∨、→解释为真值集上的运算，把p∧q、p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推论、推理）关系。例如：小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王有优点”，“所以”标志前提和结论之间的推出关系。推理形式：p且q，所以，q。逻辑学是从语形和语义两个方面来研究推理的：(1)从前提和结论的形式方面进行(2)从前提和结论的真假方面进行语形和语义对推出关系的双重刻画第二章命题逻辑第二节复合命题及其推理2020年4月4日星期六10负命题(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。(2)(3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。负命题的形式:¬p。其中p称为¬的辖域。负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命题。例如：2020年4月4日星期六11负命题真值表：真值集合只有两个元素｛T，F｝，其中T表示命题为真，而F表示命题为假。因此，可用列表的方式表示真值运算的过程，这种表称为真值表。真值函数：当p在真值集合｛T，F｝上取真值后，p的真值也唯一确定。所以，p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。的真值表如下：FT¬pp根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义：p为真当且仅当p为假；p为假当且仅当p为真。TF真值表的作用2020年4月4日星期六12负命题根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与p相同，真值表如下：FTFTFT¬¬p¬pp由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A¬¬A负命题的推导规则:双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示：A——¬¬A双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示：¬¬A——A2020年4月4日星期六13联言命题（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。（2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。联言命题的形式：p并且q（p∧q）。p称为∧的左辖域，q称为∧的右辖域。p∧q是二元真值函数：f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p和q上进行运算的二元运算。联言命题是由联言联结词(如“并且”)联结支命题而形成的复合命题，又称合取命题。例如：2020年4月4日星期六14FFTFFTTTp∧qqp从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真时，p∧q才为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。合取词∧的真值表TFFF由∧的真值表,可得出∧运算的规律:（1）∧的交换律：p∧qq∧p（2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r（3）∧的重言（幂等）律：p∧pp2020年4月4日星期六15合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：AB——A∧B合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下：A∧BA∧B————AB小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├p∧q。小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├p。联言命题的推导规则2020年4月4日星期六16选言命题选言命题分为“相容选言命题”和“不相容选言命题”两种。相容选言命题的选言支可以同时为真，如：(1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)(2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错误，或者两种情况都存在。而不相容选言命题的选言支不能同时为真，如：(1)(2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。选言命题用选言联结词联结支命题而形成的复合命题。2020年4月4日星期六17相容选言命题的形式：p或者q(p∨q)∨的真值表：相容选言命题的逻辑特征：相容选言命题为真，则它的选言支至少有一个为真；反过来讲，当选言命题至少有一个选言支为真，选言命题一定为真。FFTFFTTTp∨qqpTFTT相容选言命题及推理2020年4月4日星期六18∨的运算规律∧和∨的混合运算规律(1)∧对∨的分配律:p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)。(2)∨对∧的分配律：p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)。(3)吸收律：p∧(p∨q)p；p∨(p∧q)p。(4)德·摩根律：¬(p∧q)¬p∨¬q；¬(p∨q)¬p∧¬q。(1)∨的交换律：p∨qq∨p，(2)∨的结合律：p∨(q∨r)(p∨q)∨r(3)∨的重言律：p∨pp。2020年4月4日星期六19用真值表检验德·摩根律：从上真值表，可得：¬(p∧q)=¬p∨¬q应用德·摩根律的实例:并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。并非小李或者喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜欢体育。TTFTTFFTTFFTTFTTFTFFTFFTFFTTp∨q(p∧q)p∧qqpqp2020年4月4日星期六20析取消去规则(∨－)从A∨B和¬A可推出B；从A∨B和¬B可推出A。A∨BA∨B¬A¬B————BA（只讨论有两个选言支的选言命题，下同）析取消去规则的应用实例：或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑犯；所以，王某是嫌疑犯。其推理形式为：p∨q,¬p├q肯定一个选言支，不能否定另一个选言支。下述推理形式均错误：A∨B,A├¬B；A∨B，B├¬A规则：否定一个选言支，就要肯定另一个选言支。2020年4月4日星期六21析取引入规则(记为∨＋)：从A可推出A∨B；从B可推出A∨B。AB————A∨BA∨B析取引入规则的应用实例：小王是医生；所以，小王是医生，或者小王是教师。其推理形式为：p├p∨q2020年4月4日星期六22FFTFFTTTpqqp的真值表的运算规律的交换律：pqqP(qr)(pq)的结合律：prFTTF形式：要么p,要么q（pq）q＝df(p∨q)∧(p∧q)p不相容选言命题及推理逻辑性质：不相容选言命题为真，当且仅当两个选言支有且只有一个为真。2020年4月4日星期六23消去规则(记为_):从AB和A可推出B；从AB和B可推出A；ABA——BABB——A从AB和A可推出B；从AB和B可推出A；ABA——BABB——A2020年4月4日星期六24假言命题（1（2（3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。在（1）、（2）中由“如果”、“只有”引出的支命题称为前件，由“那么”、“才”引出的支命题称为后件。假言命题的种类一、充分条件假言命题二、必要条件假言命题三、充分必要条件假言命题假言命题是由假言联结词(如“如果，那么”、“只有，才”、“当且仅当”等)联结支命题而形成的复合命题，例如：2020年4月4日星期六25充分条件假言命题(1)如果你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。(2)假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界上最富有的人。充分条件假言命题的形式：如果p，那么q(p→q)在蕴涵式p→q中，p称为→的前件(左辖域)，q称为→的后件(右辖域)。充分条件假言命题亦称条件命题或者实质蕴涵命题,是用“如果，那么”等联结词联结前、后件形成的假言命题，例如：2020年4月4日星期六26→的真值表充分条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为真而后件为假时充分条件假言命题是假的以外,在其它三种情况下,充分条件假言命题都是真的。FFTFFTTTp→qqpTTTF2020年4月4日星期六27必要条件假言命题(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。(2)我不去，除非你去。必要条件假言命题的形式：只有p,才q(p←q)用“只有，才”联结前、后件形成的假言命题，例如：在蕴涵式p←q中，p称为←的前件(左辖域)，q称为←的后件(右辖域)。2020年4月4日星期六28←的真值表必要条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为假而后件为真时充分条件假言命题是假的之外,其它情况下,充分条件假言命题都是真的。pqp←qTTTTFTFTFFFT2020年4月4日星期六29充分必要条件假言命题(1)a和b平行,当且仅当它们的同位角相等。(2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。充要条件假言命题的形式：p当且仅当q(pq)在充要条件式pq中，称p为的前件(左辖域)，称q为的后件(右辖域)。充分必要条件假言命题又称双条件命题，简称充要条件假言命题，是用“当且仅当”等作为联结词的命题，例如：2020年4月4日星期六30的真值表的逻辑性质：当p和q的真值相同时，pq的真值为真；当p和q的真值不相同时，pq的真值为假。除上述已有规则外，→、←、还有一些运算规律FFTFFTTTpqqpFFTT2020年4月4日星期六31关于→的推理规则(1)蕴涵消去规则,也称分离规则(略缩为M.P.)或肯定前件式(记为→_)从A→B和A可推出B。图示：A→BA——B(2)否定后件式(略缩为M.T.)从A→B和B可推出A。图示：A→BB——A规则：肯定前件就要肯定后件规则：否定后件就要否定前件2020年4月4日星期六32关于→的推理规则的应用（1）如果甲方付给了定金,乙方就得按时发货。甲方已付给了定金。所以乙方得按时发货。其推理形式为：p→q，p├q（2）如果这部电影受观众欢迎，那么买票的人就多。买票的人不多。所以这部电影不受观众欢迎。其推理形式为：p→q,q├p规则：肯定前件就要肯定后件规则：否定后件就要否定前件2020年4月4日星期六33关