有限元分析—温度场与热变形问题专题

第九章温度场与热变形问题9-1温度场与热变形问题9-2温度场问题的基本方程9-3平面稳态温度场的有限元法9-4热变形的计算•2.1直梁•2.1.1梁有限元模型•2.1.2节点位移与节点载荷•2.1.3单元刚度矩阵•2.1.4单元刚度矩阵的叠加•2.1.5边界条件•2.1.6工程实例•2.2平面刚架•2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷•2.2.2单元刚度矩阵•2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换•2.2.4总的刚度矩阵叠加•2.2.5位移法基本方程•2.3工程实例•2.2.1有限元法基本思想节点位移与节点载荷•2.2.2单元刚度矩阵•2.2.3单元刚度矩阵的坐标变换•2.2.4总的刚度矩阵叠加•2.2.5位移9-1温度场与热变形问题•工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可忽视的问题。•工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。•本章介绍：•1、温度场问题的基本方程•2、平面稳态温度场的有限元法•3、热变形的计算9-2温度场问题的基本方程•一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即•热平衡原理：任一dt时间内，物体内任一微元体所积蓄的热量（即温度升高所需的热量）等于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和。即xxqqdxxxyzdxdzdyy•Qzzqqdzzyyqqdyyzqyqxq(,,,)TTxyzt•微元温度传入微元微元内•升高=的+产生•所需热量净热量的热量•设微元在dt内，温度升高为：•相应所积蓄的热量为：•同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热量为：•类似，y，z方向的净热量：•即传入微元体的净热量为：•由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即：•代入上式得传入微元体净热量为：TTTdttTcdxdydzdtt()xxxxqqqdydzdtqdxdydzdtdxdydzdtxx,yzqqdxdydzdtdxdydzdtyz()yxzqqqdxdydzdtxyz,,xxyyzzTTTqkqkqkxyz[()()()]xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz•设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为：•据热平衡得一般热传导微分方程：[()()()]xyzTTTTcdxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元体温度升高所需的热量三个方向传入微元体的净热量微元体内热源产生的热量——物体密度c——比热，单位质量物体温度升高一度所需的热量——热传导系数,,xyzkkk•整理得：•满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件，称为第一类边界条件•同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。()()()0xyzTTTTckkkQtxxyyzz0(,,,)(,,)tTxyztTxyz111(,,,)|(,)TxyztTt在边界上()aTkTTn•1、三维瞬态热传导方程及边界条件•2、二维稳态热传导方程及边界条件112()()()0(,,,)(,)()xyzaTTTTckkkQtxxyyzzTxyztTtTkTTn在内在上在上112()()0(,,)(,)()xyaTTkkQxxyyTxytTtTkTTn在内在上在上若物体内无热源，则方程退化为二维无热源稳态热传导方程9-3平面稳态温度场的有限元法•1、泛函与变分•函数y=f(x)求y的极值，即求微分，由dy=0可得。•泛函J=J[y(x)]函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的泛函，求泛函的极值，即求变分，由可得。•例：平面上AB两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。•显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑的时间并非最短。0JxyvpBA设AB间有n条曲线，每条曲线对应一个时间，即T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则可得最速下降曲线有关泛函的具体构造可参考相关教材()1,2,...iyxin1,2,...iTin•2、平面稳态温度场的泛函•求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设k为常数•据变分原理，此问题等价于求泛函J[T(x,y)]的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛函：222210()aTTxyTkTTn在内在上12221[(,)][()()]()22akTTJTxydxdyTTTdsxy求解域内部温度场相应的泛函求解域边界部分温度场相应的泛函•3、温度场单元分析•图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元i,j,k,如图。•A、温度插值函数•在边界线(如ij)上的任一点的温度T，可用两个端点的节点温度线性插值表示：xyo123(,)Txyxy(,)eiijjkkTxyNTNTNTNT1()i,j,k2iiiiNabxcyA轮换(1)ijKKSSTTTSSjTxyoT(x,y)jikisiTkTksjss•B、单元温度刚度矩阵•从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即问题转化为求多元函数的极值•设求解域有n个节点温度未知量，则泛函J[T(x,y)]转化为的形式，极值条件为：•设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件：01,2,...eemmJJmnTT12[,...]nJTTT[()()]()0eiiieajjkJTTTTkdxdyTxTxyTyTTTT•上式第一部分为内部单元的温度刚阵：•对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式：•第二部分：•记为矩阵形式：•两部分相加可得边界单元的温度刚阵：22[()()()]4eiiiijijjikikkiJkbcTbbccTbbccTTA22222204eiiiijijikikieeejjjkjkjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcbbccTHTTAbcTJT()362iiiajkajjksssTTTTTTT1000036223ieeeiiijakiiaTsssTTHTpTssT1()0eeeeeeeHHTpHTp即•3、整体温度场方程•为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点m的所有单元求和，如图，节点5，则绕节点5的单元为1，2，3，而其它单元不含节点5，即它们的泛函对的偏导为0，可不考虑，即•如单元1，3为边界单元，则按边界单元刚阵计算；如单元2为内部单元，则按内部单元刚阵计算。•如此整理可得整体代数方程组：•对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算其方法相似。01,2,...eemmJJmnTTxyo123154612355550JJJJTTTT111211122222nnnnnnhhhTphhTphTpHTp5T9-4热变形的计算•当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。•设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为，材料的线膨胀系数为，对各向同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。即•若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变，则计算热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初应变引起的等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。0000xyxyT12TTT•设热变形引起的初应变：•则考虑初应变情况的弹性方程(如平面应力问题)：•应力方程：•对比不考虑初应变的应力方程：•刚度方程：111()()xxyyyzxyxyTTEEG00()()eDDB000()TTeeeVVTTeeVVFBDBdVBDBdVBDBdVBDdVF0()eeDBDB不计初应变的刚度方程考虑初应变的刚度方程温度等效节点载荷