第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

§7-1动态电路的方程及其初始条件一、一阶电路•当线性时不变电路含一个电容或一个电感时，电路方程是一阶线性微分方程，对应的电路称为一阶电阻电容电路（RC电路）或一阶电阻电感电路（RL电路）。•这种电路是一阶动态电路。二、换路定律1.过渡过程：电路由一个工作状态转变为另一个工作状态，其间所经过的过程称为过渡过程。暂态过渡过程稳态稳态上述电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路。通常把换路前最终时刻记为t=0-，换路后的最初时刻记为t=0+，换路经历的时间为0-到0+。1、过渡过程：从一种稳定状态转变到另一种稳定状态的中间过程。补充：过渡过程＋－SUsCLRL1L2L3过渡过程演示电路图2、现象：合上SL1立即发亮亮度不变L2由暗—亮最后定L3由亮—暗直到熄灭外因:电路状态的改变内因:有储能元件2.换路定律定义•换路前后电容电流和电感电压为有限值时，换路前后电容电压和电感电流不能跃变。即：uc(0+)=uc(0-)iL(0+)=iL(0-)能量不能跃变•电路中其它量换路前后皆可跃变。三、初始值计算：求解初始条件•初始值：响应在换路后最初瞬间（即0+）的值。•独立初始值：uc(0+)、iL(0+)。•相关初始值：其它电量—由独立初始值求出。•求解过程：①由已知求得uc(0+)、iL(0+)—换路定律；②画出t=0+时的等效电路：uc(0+)—电压源替代；iL(0+)—电流源替代；③求出其它电量的初始值。SUs＋－CuCiCR1i1R2i2(a)Us＋－CuC(0＋)iC(0＋)R1i1(0＋)R2i2(0＋)(b)图（a）所示电路中,已知Us=12V,R1=4kΩ,R2=8kΩ,C=1μF,开关S原来处于断开状态,电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后,t=0+时,各电流及电容电压的数值。例:解:选定有关参考方向如图所示。(1)由已知条件可知:uC(0-)=0。(2)由换路定则可知:uC(0+)=uC(0-)=0。(3)求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的等效电路,如图（b）所示。由于uC(0+)=0,所以在等效电路中电容相当于短路。故有mARUiRRuisC310412)0(,00)0()0(311222由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。SUs＋－CuCiCR1i1R2i2(a)Us＋－CuC(0＋)iC(0＋)R1i1(0＋)R2i2(0＋)(b)解：例：开关K打开前电路处稳态，给定R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=4H，C=5F，US=6V，t=0开关K打开，求iC，iL，i，uC，uL，在0+时的值。R1Us+uLiR2R3CLiC+uCiLUs+uC(0)R1R2R3iL(0)i2(0)t=0－：123(0)4()//SLUiARRR212(0)4CSRuUVRRiLt=0uC(0+)=uC(0－)=4ViL(0+)=iL(0－)=4AuC(0+)iC(0+)Us+uL(0+)R1R3iL(0+)i(0+)图(c)1(0)(0)2SCCUuiARi(0+)=iC(0+)+iL(0+)=6AuL(0+)=USR3iL(0+)=6Vt=0+：解：例：发动机励磁线圈：L=0.4H，R=0.2Ω，直流电压US=40V，伏特表量程50V，内阻RV=5kΩ，开关闭合已久达稳态，求开关K断开瞬时伏特表电压？Us+uVVKiVRLiL(0)200SLUiAR(0)(0)200LLiiA6(0)(0)200510VVVuRikV§7-2一阶电路的零输入响应一、零输入响应当uC(0+)、iL(0+)不为零且电路中无独立源外施激励时，电路中的响应称为零输入响应。二、RC电路的零输入响应•充好电的电容向电阻放电：R0U0uCCRS(t=0)uRt≥0iCRuRuCi1.求解t≥0+时的电路•当t≥0时uC(0+)=U0•由KVL得uC―uR=0•又uR=RidtduCiCCRuRuCi)0(0tdtduRCuCC解微分方程可得RCtCeUu0(t≥0+)★一阶微分方程求解补充：RCtptCptptptptCCAeAeuRCpRCpAeRCpAeRCpAeAeuucdtduRC1010)1(00由换路定则知：uC(0+)=uC(0-)=U0,即将A=U0代入，得RCtCeUu0RCtRCeRURudtduCi0电流(t≥0+)2.uC、uR、i的时间曲线tuC02U00.368U00.135U0uR、i3.时间常数τ•定义:τ=RCtCeUu0•τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。•τ对响应的影响：τ越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过渡过程结束。•τ的图解tuC0CBU0uc(t0)A0000001)(tanttttCCeUeUdtdutuABBCt=τ时，uC=0.368U0(次切距法)任一点切线（其中R为等效电阻）★ti0e0=1τ2τ3τ4τ5τ…………∞00te368.01e135.02e050.03e018.04e007.05eeCu0U0368.0U0135.0U0050.0U0018.0U0007.0URU0RU0368.0RU0135.0RU0050.0RU0018.0RU0007.0电容电压及电流随时间变化的规律4.能量转换电容的电能2021CUWC电阻的热能200221CURdtiWR例：电源开关S原在位置1，且电路已达稳态，t=0时开关由1合向2，求t≥0时电流i（t）。解：VuuVuccc4)0()0(4444210)0(换路后电路如右图：)0(4)0(4)0(212221215.05.0''tAeucitVeeucucScRRRRRRttt欧三、RL电路的零输入响应R0U0uLLRS(t=0)uRt≥0iLRuRuLi1.求解t≥0+时的电路•当t≥0时i(0+)=I0=U0/R•由KVL得uL+uR=0•又uR=RidtdiLuLLRuRuLi)0(0tdtdiLRi解微分方程可得tLReIi0(t≥0+)★2.时间常数τGLRL即:tLtRteRIueRIueIi000单位”秒S”O―RIOiuRRIOIOtuL3.参数曲线★4.能量转换：L磁场能→R热能零输入响应是初始值的线性函数，满足：U0：00tCuUetKU0：U01+U02：00tCCuKuKUet01020102()tttCuUUeUeUe注：齐次性：可加性：uC=R1i1+R2i2，i2=i1+i1=2i1∴uC=R1i1+2R2i1i2i1C+uCR1R2i1R例：换路后电路：R1=1Ω，R2=2Ω，C=1F，=1，uC(0+)=1V。求零输入响应uC、i1、i2。解：12125CuRRRiτ=RC=5s5(0)0ttCCuueeVt51105tCuieAtR5212205tiieAt求等效电阻R§7-3一阶电路的零状态响应一、零状态响应当uC(0+)、iL(0+)为零，电路中由独立源外施激励引起的响应称为零状态响应。二、RC电路在直流激励下的零状态响应1.求解t≥0时的电路(充电))0(tUdtduRCuSCCUSuCRS(t=0)uRCKVL：uC+uR=USi又RiuRdtduCiC)1(tStSSCeUeUUutSCeRUdtduCi可解得（t≥0）★（t≥0）其中τ=RC)1(tStSSCeUeUUuSCUu对的说明tSCeUu•特解称为稳态分量或强制分量；•通解称为瞬态分量或自由分量。2.参数曲线O―USuC'USUStuCuCi―R3.能量转换WR=WC=½CUS2充电效率50%三、RL电路在直流激励下的零状态响应ISS(t=0)LRuLiLiR1.求解t≥0时的电路KCL:IS=IR+IL)0(tIdtdiRLiSLL可解得)0)(1(teIeIIitStSSL其中RL★2.参数曲线O―ISiL'IStiLiL3.能量转换WL=WR=½LIS2零状态响应是激励的线性函数：可加性：f1(t)y(1)，f2(t)y(2)，则f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2)齐次性：kf1(t)y(3)=ky(1)注：四、正弦电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）iL(0-)=0iK(t=0)L+–uLRuS+-)sin(umstUui(0-)=0utuS求：i(t)接入相位角)sin(umtUdtdiLRi'iii强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)teiARSUjL+-I22)(LRUImmRLarctg)sin('umtIi)sin(umstUuiL(0-)=0iK(t=0)L+–uLRuS+-用相量法计算稳态解itumAetIiii')sin()sin(umIAtumumeItIi)sin()sin(解答为讨论几种情况：1）合闸时u=，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。2）u=±/2即u-=±/2tIimsinmIAtmeIi定积分常数AAIium)sin(0)0(由则A=0,无暂态分量0itmumeItIi)sin(u=-/2时波形为mIi2max最大电流出现在t=T/2时刻。iImitmmeItIi)2/sin(-ImiT/2ti0可见，RL串联电路与正弦电压接通后，在初始值一定得条件下，电路的过渡过程与开关动作的时刻有关。解：0t6s（图b）：iSR1R2C+uC(1)图(b)例：R1=1Ω，R2=2Ω，C=3F，iS=1A，K打开前电路为零状态。t=0时K打开，经过6秒后，K又闭合，求t0时的uC。iSKR1R2C+uC图(a)1=R2C=6s6(1)2(1)tCueVt6s（图c）：2=RC=2sR1R2C+uC(2)R图(c)122//3RRR零状态零输入6(1)16(6)2(1)2(1)1.26tCtueeV(2)(1)(6)(6)1.26CCuuV6622(2)(2)(6)1.266ttCCuueeVtt(s)uC(V)61.26uC(2)uC(1)uC(t)的曲线§7-4一阶电路的全响应一、全响应定义一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。即：uC(0+)、iL(0+)不为零，且电路中有独立源外施激励所引起的响应。二、全响应电路求解USuCRS(t=0)uRCi以RC电路为例：uC(0-)=U0求解t≥0时的电路(充电后的电容接入直流电源))0(tUdtduRCuSCCKVL：uC+uR=UStSSCeUUUu)(0可解得★（t≥0）二、全响应电路分解tSSCCCeUUUuuu)(01.（t≥0）SCUutSCeUUu)(0其中:稳态(强制)分量瞬态(自由)分量全响应=(稳态分量)+(瞬态分量)OU0―USuC'UStuCuCUO2.)1(021tStCCCeUeUuuu（t≥0）全响应=零输入响应零状态响应+tUSuCUOuC1uC2O有三种情况：(a)U0Us,(b)U0=Us,(c)U0Us0uCtUsU0U0-Us稳态分量全响应暂态分量uCt全响应=稳态分量0uCt全响应0U