中考数学复习课时训练(十八)--正方形及中点四边形

1中考数学复习课时训练(十八)正方形及中点四边形1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是()A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.[2018·滨州]下列命题,其中是真命题的为()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.[2016·河北]关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形4.[2017·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图26-5,正方形ABCD的周长为28cm,点N在对角线BD上,则矩形MNGC的周长是()2图26-5A.24cmB.14cmC.18cmD.7cm7.如图26-6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是()图26-6A.2√2B.3C.√10D.48.[2018·天津]如图26-7,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图26-7A.ABB.DEC.BDD.AF9.[2017·枣庄]如图26-8,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为()图26-8A.2B.√3C.√2D.110.[2017·泰安]如图26-9,在正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为()3图26-9A.18B.1095C.965D.25311.[2018·青岛]如图26-10,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.图26-1012.[2018·德阳]如图26-11,将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',那么图中阴影部分的面积为()图26-11A.3B.√3C.3-√3D.3-√3213.正方形的对角线长为2,则正方形的周长为,面积为.14.[2017·兰州]在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的是(填序号).15.[2015·无锡]如图26-12,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于cm.图26-12416.[2015·广安]如图26-13,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm2.图26-1317.[2017·宿迁]如图26-14,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1.若点P在对角线BD上移动,则PA+PE的最小值是.图26-1418.[2017·包头样题二]如图26-15,边长为6的大正方形中有两个小正方形,小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1与S2的和为.图26-1519.[2017·常德]如图26-16,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上,若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x之间的函数关系式为(不必写出自变量的取值范围).图26-1620.[2018·白银]如图26-17,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.5图26-1721.[2018·聊城]如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形ABCD的边长是5,BE=2,求AF的长.图26-1822.[2018·潍坊]如图26-19,M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.6图26-1923.[2017·眉山]如图26-20,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交AC于点H,交DC于点G.(1)求证:BG=DE;(2)若G为CD的中点,求𝐻𝐺𝐺𝐹的值.图26-20724.[2018·包头样题一]如图26-21,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线上,且AD=3,DE=1,连接CG,AE,并延长AE交CG于点H,则EH的长为()图26-21A.√105B.2√105C.3√55D.√5525.[2018·台州]如图26-22,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为.图26-2226.[2017·青山区一模]如图26-23,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若𝐴𝐸𝐴𝐵=23,则3S△EDH=13S△DHC,其中正确的结论是(填序号).图26-2327.[2018·青山区二模]如图26-24,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC.其中正确的是(填序号).图26-248参考答案1.C2.D3.C4.C[解析]根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.5.D6.B7.C8.D[解析]如图,取CD的中点E',连接AE',PE'.由正方形轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P.∵AP+E'P≥AE',∴AP+EP的最小值是AE'的长,即AP+EP的最小值是AF的长.故选D.9.B[解析]∵四边形ABCD为正方形,AB=2,M,N分别为BC,AD的中点,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中,FM=√𝐵𝐹2-𝐵𝑀2=√22-12=√3,故选B.10.B[解析]在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=√𝐴𝐵2+𝐵𝑀2=√122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB=12.因为ME⊥AM,所以∠AME=90°,所以∠AME=∠MBA.因为AD∥BC,所以∠EAM=∠AMB,所以△ABM∽△EMA,所以𝐵𝑀𝐴𝑀=𝐴𝑀𝐴𝐸,即513=13𝐴𝐸,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.11.√342[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE,∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°,即∠BGF=90°.在Rt△BCF中,CF=CD-DF=3,∴BF=√52+32=√34.在Rt△BGF中,∵H为BF的中点,∴GH=12BF=√342.912.C[解析]如图,连接AM.由旋转的性质可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.在Rt△ABM和Rt△C'BM中,∵AB=C'B,∴Rt△ABM≌Rt△C'BM,∴∠2=∠3=30°.在Rt△ABM中,∵AB=√3,∠2=30°,∴AM=tan30°·AB=1.∴S△ABM=S△BMC'=√32,∴S阴影=S正方形A'BC'D'-(S△ABM+S△BMC')=3-√3.13.4√2214.①③④[解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确;②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故②错误;③由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD,∴▱ABCD为正方形,故③正确;④由AB=AD,得▱ABCD为菱形.又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形,故④正确.15.1616.9√317.√10[解析]连接PC.根据正方形的对称性知PA=PC,所以当点C,P,E在同一条直线上时,PA+PE=PC+PE=CE最小,根据勾股定理求得CE=√𝐵𝐶2+𝐵𝐸2=√32+12=√10.18.1719.y=2x2-4x+4[解析]由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,AE=x,则AF=2-x.在Rt△EAF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面积y=2x2-4x+4.20.解:(1)证明:∵F是BC边的中点,∴BF=FC.∵F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,∴GF,FH是△BEC的中位线,10∴GF=HC,FH=BG.在△BGF和△FHC中,{𝐵𝐹=𝐹𝐶,𝐵𝐺=𝐹𝐻,𝐺𝐹=𝐻𝐶,∴△BGF≌△FHC(SSS).(2)当四边形EGFH是正方形时,∠BEC=90°,GF=GE=EH=FH.∵GF,FH是△BEC的中位线,∴BE=CE,∴△BEC是等腰直角三角形.连接EF,则EF⊥BC,EF=12BC=12AD=12a,∴S矩形ABCD=AD·EF=a·12a=12a2.21.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.∵BH⊥AE,垂足为H,∴∠BAE+∠ABH=90°.∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,{∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶=90°,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐹,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2.∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF=√𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=√52+32=√34.22.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°.∵BF⊥AM,DE⊥AM,11∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE.∴△ABF≌△DAE,∴AE=BF.(