第二章变形体虚位移原理

第2章变形体虚位移原理在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹法）。2-1弹性力学的基本方程及其矩阵表示为研究线弹性体的解答，首先需要建立微元体的平衡条件、几何条件、应力-应变关系、边界应满足的条件等，这些统称为弹性力学的基本方程。需要强调指出的是，在弹性力学中假设所研究的变形物体是连续、均匀和各向同性的（除专门说明外）。从数学上说，也即体内的位移、应力、应变等都是光滑、连续的函数2-1-1平衡（运动）微分方程某二维弹性体中取出的一个面积为的内部微元体，如下图所示dxdydAdxdyyy)(dxdxyyxy)(dAFbydAFbxdyxdyyxdydxxx)(dydyxxyx)(dxxydxydydx（a）位置变化示意x（b）微元体边界合力示意图2-1平面微元体受力示意BDACdyyxx,dxdydAdydxyxxxx,,dxdyxdxxxx,偏导数标记法微分标记法（）表示某物理量xyxy(),()(),()dydyydyy(),()()dxdxxdxx(),()()dyxdyxdyx在图2-1aAB边上的合力有如下近似（曲线面积近似等于梯形面积）计算xxT221)(21dyydydydyyTxxxxxx基于这一思想，在略去高阶小量后即可得到图2-1b所示的微元体受力图，因而此图受力从数学上讲是精确的。微元体受力如图2-1b所示，有和方程，即可得到二维问题的平衡微分方程0xF0yF00byyyxbxxyxFyxFyx（2-1）再由，可以得到切应力互等定理结论，即。0Myxxy在此基础可以得到以下结论：1、如果微元体不平衡，根据大朗贝尔原理，加上惯性力（例如方向为）再列（瞬时）动平衡方程，则可得式中为材料密度，和分别为坐标、方向的位移分量。这就是二维问题的运动微分方程。由式（2-2）可见，式（2-1）是惯性力为零时的特例。2、对于三维问题，运动方程为2222tvFyxtuFyxbyyyxbxxyx222222twFzyxtvFzyxtuFzyxbzzzyzxbyyzyyxbxxzxyxuvxyxdAtu22（2-2）（2-3）2-1-2小变形的几何方程（位移—应变关系）图2-2为二维弹性体中沿坐标方向所取两正交微段及位移示意。和材料力学一样可引入如下线应变定义：某坐标方向线应变=微段变形后长度-微段原长微段原长CBAC,B,A,图2-2微段变形示意图),(dyyx)),1(,,(dyvvydyuuxyy),(yx),(ydxx),,),1((dxvvydxuuxxx如2-2中微段AB在小应变条件下变形后的A,B,的长度为：22)(,)(),1(vydxvvyuxdxuuxBAxxdx略去高阶小量后可得dxudxvuudxvuBAxxxxxx),1(,),(,21,),1(2/1222/122),(vyux由此可得，同理，不难理解。即在定义：正交微段角度的改变量=切应变则由图2-2在小变形下（小角度正切近似等于角度）可得上述所定义的应变为工程应变，方程（2-4）称为几何方程。对于三维问题，对应工程应变的几何方程为xxu,yyv,yvxuyx（2-4a）xyxxyxxyvudxudxvdyvdyu,,),1(,),1(,xvyuyxxyzuxwywzvxvyuzwyvxuyzyzxyzyx（2-4b）（2-5）2-1-3边界条件（边界处平衡和协调条件）物体的边界可能有的如下情况：仅给定应力的表面仅给定位移的表面某些方向给定应力、另一些方向给定位移的混合边界条SuSminS对于以位移进行求解的问题，可以将也视作。物理量给定的条件称为边界条件。uSminS1、应力边界条件从边界部分取微元体如图2-3所示，微元体边界上的应力、表面力均已用合力表示。与建立平衡方程一样，注意：、、间的关系为式中，为边界外法线的方向余弦。dsdxdyssxdsdxmydsdyl,/,/lmdxdydsFSxdsFSytdxxydxydyyxdyxnlmFmlFyxysyxyxsxsincosmdsdxldsdy（2-6）应力边界条件表面上S图2-3边界微元体受力示意图三维问题的应力边界条件nmlFnmlFnmlFzzyzxszyzyyxsyxzxyxsx（2-7）式中，，为边界外法线的方向余弦。lmn2、位移边界条件当边界上位移为给定值，时，由位移协调，位移边界条件可表示为uSvu表面上uSvvuu三维问题的位移边界条件wwvvuu（2-8a）（2-8b）2-1-4线弹性体的物理方程（本构关系）对于各同性二维弹性体有图2-4所示的两种情况。图2-4a表示荷载作用平行于板中面且沿厚度均匀分布，板厚远小于平面内方向的尺寸，也即，，这类问题称为平面应力问题。这时2-4a荷载作用于板的中面a2b2Ozyxba22和远小于b2a2板厚0zxyzz图2-4b是一水坝示意，其特点是长度远远大于平面内两个方向的尺寸且沿长度荷载作用相同，这时可以取单位长度坝体进行分析，这类问题称为平面应变问题。此时2-4b荷载沿长度不变，取单位厚度分析xyhb0zxyzzhbl和远大于l1z两类问题的共同特点是：物理量（位移、应变、应力）只是坐标的，函数。xy线弹性材料应力-应变关系称线弹性本构方程，由材料力学中的中广义胡克定律可得：对平面应力问题为xyxyxyyxzxyyyxxEGEEE)1(2),(1)(1),(1（2-9）式中：，分别为弹性模量和泊松比。从式（2-9）解出应力则可得ExyxyxyxyyyxxEGEE)1(2)(1)(122（2-10）对平面应变问题为xyxyxyxyyyxxEGEE)1(2))1((1])1[(1可证明在（2-10）中对，作如下变换（2-11）就可得到（2-11）。E1,12EE（2-12）2-1-5物理量的矩阵表示为了以后推导方便、书写简洁，对二维问题一些物理量和符号用矩阵表示如下：应力矩阵应变矩阵位移矩阵体积力矩阵表面力矩阵Txyyx)(σTxyyx)(εTvu)(dTbybxbFF)(FTSySxSFF)(F；已知位移矩阵Tvu)(d弹性矩阵32211210000DDDDDD，矩阵元素取决于问题类型和材料特性。方向余弦矩阵lmml00L微分算子矩阵xyyx00A1、自己推导三维问题物理量和符号用矩阵表示方法。2、自己推导弹性矩阵中的D值。？利用所引入的矩阵符号，由矩阵运算可以证明弹性力学基本方程可写作如下矩阵方程：2-1-6弹性力学基本方程的矩阵表示平衡方程0FAσb几何方程0εdAT本构方程0σDε应力边界条件0FLσS位移边界条件0dd（2-13）（2-14）（2-17）（2-16）（2-15）2-2变形体虚位移原理2-2-1弹性力学平面问题外力总虚功内部微元体上外力总虚功（1）微元体受力分析和上节平衡分析一样略去高阶小量，微元体受力如图2-5所示。（2）微元体受力点的虚位移和几何分析相仿，在设A点（称为基点）坐标，其虚位移为，又连续函数在A点的泰勒级数展开可知，对应图2-5合力作用点的虚功位移分别为：dxdyyy)(dxdxyyxy)(dAFbydAFbxdyxdyyxdydxxx)(dydyxxyx)(dxxydxydydx),(yxA),(yxTvu)(d1234O图2-5内部微元体受力图O点：Tyxyxdyvdxvvdyudxuu)2,2,,2,2,(1点：2点：3点：4点：Tyxyxdyvdxvvdyudxuu)2,,,2,,(Tyxyxdyvdxvvdyudxuu),2,,,2,(Txxdxvvdxuu)2,,2,(Tyydyvvdyuu)2,,2,(（3）微元体外力的总虚功有了上述准备，力乘以对应虚位移求代数和，即可得到总虚功。eyxbyyxbxyxyxyyxyxyxyyxyyyyxxxxyxxxyxyxyxxyWddyvdxvvdxdyFdyudxuudxdyFdyuudydyvvdydyudxuudxdydyvdxvvdxdydyvdxvvdydxdyudxuudydxdxvvdxdxuudx)2,2,()2,2,()2,()2,(),2,()(),2,()()2,,()()2,,()()2,()2,(,,,,4点O点1点2点3点对上式进行整理并舍去高阶无穷小量可等dxdyuuvudxdyvFuFWdxyxyyyxxbyxxyyybxyxyxxe),,(,,)()(,,,,（2-18）式子中第一项是微元体上外力在随基点刚体平移时的总虚功，第二项则为外力在微元体变形虚位移上所做的总虚功。如果分别记作和，则),(vugWdWdWdWdWdgedxdyvFuFWdbyxxyyybxyxyxxg)()(,,,,dxdyuuvuWdxyxyyyxx),,(,,（2-19c）（2-19b）（2-19a）边界微元体上外力总虚功dxdydsFSxdsFSytdxxydxydyyxdyxn321OdAFbydAFbx2sincosdxdydAmdsdxldsdy图2-6边界微元体受力图边界微元体的受力图如2-6所示，以A为基点，按泰勒级数展开的概念，可写出图中O，1，2，3点的虚位移。由此，可写出微元体上外力的总虚功为：),(yxAexySyxySxxybyxybxyxyxyxyxxyWddxvdyvvdsFdxudyuudsFdxvdyvvdxdyFdxudyuudxdyFdyuudydyvvdydxvvdxdxuudx)2,2,()2,2,()3,3,(2)3,3,(2)2,()2,()2,()2,(1点3点O点2点引入边界外法线方向余弦，，且略去高阶小量并整理后可得dsdyldsdxmdsvmlFumlFWdyxySyxy