第五章-平面问题有限元分析

有限单元法第5章平面问题的有限元分析有限单元法5-1引言在有限元法中，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为结点。一般用号码1、2、…进行结点编号。结点可为铰接、固接或其它形式的连接。结点的设置、性质及数目等均视所研究问题的性质、描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定。在有限元法中引进结点概念是至关重要的。有了结点，才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构，从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的教学模型。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元模型。它是有限元分析与计算的对象。有限单元法5-1-1结构离散化1、单元划分类型单元类型：三角形单元、四边形单元单元数目：根据计算精度要求来确定结点设置：使单元的的结点编号尽量靠近有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合2、离散化时应注意的问题相邻单元的尺寸尽可能相近；同一单元的最大和最小尺寸之比尽可能接近1，不宜过大；应使全部单元中相关结点的结点编码差值为最小；单元划分时内部每个结点所连接的单元数应尽量相等有限单元法连续介质的离散有限单元法有限单元法对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下：(1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。(2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。(3)选择位移函数。(4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。(5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。(6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。(7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。有限单元法3、位移函数在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛性得到保障，还需要满足完备性和连续性的要求。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。...26524321yaxyaxayaxaau...26524321ybxybxbybxbbv有限单元法5-1-2平面问题的总势能表达式将第二章的原理用于平面问题单元分析时，其总势能表达式为式中相对第二章所讲的总势能表达式多了一项，它是单元结点力的外力势能。从整体分析角度，由于结点平衡单元结点力是不出现的，因此有的数上没有这一项，但从最小势能原理作为单元分析和整体分析的推导来说，应该包括这一项。12TTTeTePbSAALEdAdAdAσεFdFdFδeTeFδ(5-1)有限单元法5-2常应变三角形单元三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元，由于以三角形的三个顶点作为结点，因此又成为三结点三角形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元有限单元法5-2-1单元结点位移和结点力yxOijkbxFbyFiuiviyFixFkukvkyFkxFjujvjyFjxF图5-2为任一的典型单元。单元局部坐标结点编号记作1，2，3逆时针进行标记，其对应的整体结点编号记作，，。由于平面问题局部坐标和整体坐标是一致的，因此没有坐标转换问题，故也可只标记整体编号以便形成点位向量，如图所示单元每个结点有两个位移分量，称作结点位移，记作ijk图5-2常应变三角形单元iiiuvδ（5-2）有限单元法将三个结点位移按结点编号排在一起称为单元结点位移记作：TeTTTijkδδδδ（5-3）与结点位移相对应，每个结点上受有2个其他单元对它作用的力，称为结点力，记作TeTTTijkFFFFixiiyFFF将三个结点力按结点编号排在一起称为单元结点力记作：（5-4）（5-5）单元上作用的体积力记为bxebbyFFF（5-6）有限单元法若单元的边界是物体边界，并且该边界有表面力的话，该表面力记作：SxeSSyFFF（5-7）体积力和表面力表达式找中矩阵元素均是沿坐标方向的分布荷载集度。有限单元法5-2-2用面积坐标建立单元位移场1、面积坐标的定义设P为三角形单元中的一点，与三个顶点，，相连，则可将分割3小块，如图5-3a所示，分别记这三个小三角形面积为jkikAiAjAPijkijk图5-3a面积坐标示意iPjkjPikkPjiAAAAAA对于三角形单元，完全可以同杆系单元一样，在直角坐标下采用广义坐标法建立形函数及单元位移场。但下面将引入的面积坐标除了也可确定点的位置外，对三角形单元的分析具有许多优越性，因此首先介绍面积坐标。有限单元法jkiP图5-3b面积坐标示意则显然存在如下恒等关系等坐标轴线有图5-3b可见，P点位置除了可用直角表示外，也可以用，，中的任意两个来确定。等坐标轴线等坐标轴线kAiAjAijkijkAAAAA（5-8）kAiAjA有限单元法若令1(,,)lALlijkA（5-9）那么P点位置就可用量纲参数，，中的两个来确定，因此可以作为确定点位置的一种坐标方法。因此是根据面积来定义的，故称，，为面积坐标。kA常数kLjLiLijl,,lLlijkkLjLiL由上述定义可见:面积坐标是一种固定于单元的局部坐标，它具有如下性质：Li+Lj+Lk=1；当P在结点时，；当P在结点所对的边线上时；当P在与边平行的直线上时，，，因此称这些直线为等坐标线，如图5-3b所示。l1,,,lLlijk0lLlL常数有限单元法若以Li和Lj构成面积坐标系，则单元面积坐标系中的图形是个直角边为1的等腰直角三角形，如图5-4所示。三个结点的面积坐标分别为:1()i2()j11iLjL3()k图5-4面积坐标下的单元结点：结点：结点：单元的三条边线方程为：单元形心处的坐标为ijk10ijkLLL10jikLLL10kijLLL000kijijLjkLikL边；边；边13kijLLL有限单元法2、面积坐标与直角坐标之间的关系单元面积为11121ijjkkxyAxyijkixy脚标轮换规则为设P点坐标(x,y)，则有数学可知，三块小面积为11121iijjkkxyAxyxyijkA有限单元法因此有111111212,,()jjjjiikkkkiiiiiijkkjijkikjiyxxyALxyyxxyAAabxcyijkAabcaxyxybyyijkicxx式中分别为（5-10）有限单元法若将式（5-10）写成矩阵关系，则有112iiiijjjjkkkkLabcLabcxALabcy（5-11）由式（5-11）可求得1111iijkjijkkLxxxxLyyyyL（5-13）（5-12）即0ijkiijjkkiijjkkLLLxLxLxLxyLyLyLy式（5-10）和式（5-13）即为两种坐标系间的变换关系有限单元法建立了坐标系间的转换关系，则按求导法则可得1212ijkijkijkijkbbbxALLLcccyALLL（5-13）利用数学知识可以证明!!!2(2)!!!()1!ijijkVijilSLLLdVtALLdStlijjkki1kijLLL（和分部积分）（5-15）（5-14）式中，，为面积坐标的幂，为边的长度，为平面问题板厚。这些公式将在今后研究三角形单元等参单元计算中应用。ijLijt有限单元法3、常应变三角形单元的位移场由形函数的性质可知，本结点为1，它结点为零，在单元内任一点全部形函数和均为1.而面积坐标的性质正好与形函数的性质相同，所以常应变三角形单元的形函数可取面积坐标，即由此可得形函数矩阵为其中1()2iiiiNabxcyijkiA222000()000ijkijkijkNNNNNNNNNNIII,,,iijjkkNLNLNL（5-15）（5-18）（5-17）2I为二阶单位矩阵有限单元法有了形函数矩阵，则单元内任意一点的位移可表示为：euvdNδ有限单元法附、广义坐标法位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数(,)123uuxyxy546(,)vvxyxy则有123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy546iiivxy546jjjvxy546mmmvxy1利用线性代数中解方程组的克来姆法则,可解出待定常数11AA22AA33AA有限单元法式中行列式:1iiijjjmmmuxyAuxyuxy2111iijjmmuyAuyuy3111iijjmmxuAxuxu2111iijjmmAxyAxyxyA为△ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:有限单元法11()2mmiijjauauauA21()2mmiijjbububuA31()2mmiijjcucucuAmmijjaxyxymmjiiaxyxymijjiaxyxymijbyymjibyymijbyymijcxxmjicxxmjicxx式中:为了书写方便，可将上式记为:()jmmjijmimjiaxyxybyyijmicxx有限单元法整理上式后可得:(,)(,)(,)mmiijjuNxyuNxyuNxyu(,)(,)(,)mmiijjvNxyvNxyvNxyv同理:式中:1()()2iiiiNabxcyijmiA将三角形单元的位移函数用矩阵表示：vuivuvum0j0i00m0j0mjiimNNNNNNvuidevuNδd或有限单元法例题5-1试求图5-5所示等腰直角三角形单元的形函数矩阵N。a2a13xy图5-5等腰直角三角形单元21233212313222311323121331221312321111122223333123120,0,,,0,,012112120000AaaxyxybyycxxaaxyxyabyyacxxaaxyxybyyacxxyNabxcyAaxyNabxcyAaxNabxcyAaNNNNN由此可得形函数矩阵1230100000010yxyxaaaNNyxyxaaa有限单元法应变根据单元的位移场函数式（5-20），由几何方程可以得到单元的应变场表达式：00xTyxyuxxvyyuvyxyxεdAd（5-21）式中微分算子矩阵A为00xyyxA=（5-22）5-2-3基于最小