绵阳南山中学和南山中学实验学校2017年自主招生考试--数学试题

数学题卷第1页共6页保密★启用前绵阳南山中学和南山中学实验学校2017年自主招生考试数学试题本套试卷分试题卷和答题卡两部份,试题卷共6页,答题卡共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、毕业学校、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔,直接答在答题卡上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卡一并上交.第一卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.估计11tan45的值()A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间2.今有一组统计数据如下:x1.993.04.05.16.12y1.54.047.51218.01其中能最近似地表达这些数据规律的函数是()A.1025yxB.33xyC.212xyD.22yx3.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是()A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差D.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差4.一个表面为红色的棱长为4cm的立方体,将其分割成棱长为1cm的小正方体若干个,在这些小正方体中任意取一个,则取到仅有两面为红色的小正方体的概率为数学题卷第2页共6页()A.38B.34C.14D.185.如图所示,①、②、③、④为四个多面体零件,则A、B、C、D四个多面体零件中的哪一个与①、②、③、④中的任一个都不能组合成长方体()①②③④A.B.C.D.6.小张一星期的总开支分布如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小张一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1图2A.3%B.10%C.30D.不能确定7.水以匀速注入某容器中,该容器的三视图如右图所示,则该容器中对应的水的高度h与时间t的函数关系的图象是()A.B.C.D.8.从所给四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定规律性,你的选择是()数学题卷第3页共6页A.B.C.D.9.南山中学为纪念“一二·九”运动81周年,举行了知识大赛,进入决赛的有三个班,其中成绩靠前的X人获奖.如获奖人数最多的班获奖的人数为Y,问以下哪个图形能反映Y的上、下限分别与X的关系()A.B.C.D.10.已知M、N是等腰Rt△𝐴𝐵𝐶的斜边BC上两点,且62ABAC,MB＝3,45MAN,则NC＝()A.92B.4C.72D.311.已知AB是圆O的直径,C、D是圆O上的两点,CA＝3,CB＝5,DA＝DB,则CD＝()A.14或B.343或C.2或42D.22或4212.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且AB＝8,AD＝6,AC＝10,点E在AC上,且AE＝2,M是AE的中点,N是BC的中点,则MN＝()A.5B.265C.275D.112第二卷(主观题,共114分)二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卷相应的横线上)13.在讨论勾股定理的过程中,《九章算术》提供了许多整勾股数,如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100,等等.其中最大的数称为“弦数”,后人在此基础上进一步研究,得到如下规律:若勾股数组中的某一个数m是确定的奇数(大于1),把它平方后拆成相邻的两个整数,那么该奇数与这两个整数构成一组勾股数.若勾股数组中的某一个数m是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.由此得到的这种勾股数称之为“由m生成的一组勾股数”.若“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为A,“由20生成的这组勾股数”的“弦数”为B,则A＋B＝.14.南山中学明轩文学社公开招聘一名文学编辑,从笔试成绩合格的6(编号分别为1－6)名应试者中通过面试选聘一人.甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测.甲:不可能是6号;乙:不是4号就是5号;丙:是1、2、3号中的一名;丁:不可能是1、2、3号.已知这四人中只有一人预测正确,则入选者是_________________.15.已知E为正方形ABCD边BC的中点,过点B、D分别作AE的垂线,垂足分别为F、G,则∠FBG＝_______.16.不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].如[2.3]＝2,[－1.5]＝－2.则方程34[]2xx的所有实数解是___________.17.已知△ABC是锐角三角形,O是其外接圆的圆心,∠ABC＝60°,延长AO交BC于E,数学题卷第4页共6页延长CO交AB于D,则ADCE＝______.18.如图,在扇形AOE中,120AOE,弦43,4ABBCCDDE,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和等于_______________.三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)19.(本题共两个小题,满分16分,每小题8分)(1)已知20221(3.14)(1)21xxMxxxx,其中x满足不等式组214133xxx,且x为整数,求M的值.(2)解方程222111011213xxxxxx.20.(本小题满分12分)中国天气网2017年6月18日1时通过手机发布的绵阳市一周的天气预报,如下图所示:(Ⅰ)某位游客准备本周内到绵阳市参观,且连续呆两天,求这两天恰好一天有雨的概率;(Ⅱ)从周一至周六的6天内任意选择两天,求两天的温差均小于或等于8°C且只有一天有雨的概率.(温差为白天气温与夜间气温的差)18题图DCBEOA数学题卷第5页共6页21.(本小题满分12分)在6月4日结束的FTC机器人科技挑战赛全国总决赛中,由南山中学学生黄毅、何璐宇、李志君、杨振一、何科橙、李奇伟、姚力月、段维等同学组成的AuroraPlus队,斩获全国亚军,黄毅同学获得美国两所大学的专项奖学金共计10万美元.这是我校FTC机器人代表队继去年获同济大学邀请赛勇夺全国冠军后取得的又一佳绩.在某次机器人训练中,要求位于点O处的机器人甲要在最短的时间内与正在前进的机器人乙相遇.在机器人甲出发时,机器人乙位于点O北偏西30°且与O相距20米的A处,并以30米/分钟的速度沿正东方向匀速行驶.假设机器人甲沿直线方向以v米/分钟的速度匀速行驶,经过t分钟与机器人乙相遇.(Ⅰ)若希望相遇时机器人甲行驶的距离最小,则机器人甲行驶的速度大小应为多少？(Ⅱ)假设机器人甲的最高行驶速度只能达到30米/分钟,试设计行驶方案(即确定行驶方向和行驶速度的大小),使得机器人甲能以最短时间与机器人乙相遇,并说明理由.22.(本小题满分12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资金额成正比,其关系如图1所示;B产品的利润与投资金额的算术平方根成正比,其关系如图2所示(注:利润与投资金额单位:万元).(Ⅰ)分别将A,B两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式;(Ⅱ)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中.问怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？23.(本小题满分12分)如图,若P是反比例函数2kyx的图象在第一象限内一点,过点P作PD⊥x轴,PC⊥y轴,垂足分别为D、C.DP与CP的延长线分别交反比例函数1kyx于B、A两点,且k1k20.(Ⅰ)证明:AB//CD;(Ⅱ)用12,kk表示ABCD的值.数学题卷第6页共6页24.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数2(0)yxaxa的图象与x轴交于O、A两点,且与直线132yax相切于点C.(Ⅰ)求∠OAC;(Ⅱ)若点D在抛物线2yxax上,E在x轴上,是否存在以O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.25.(本小题满分14分)如图1,点A是⊙O的直径BM延长线上一动点(A与M不重合),以OA为直径的⊙P与⊙O的一个交点为C.图1图2图3(Ⅰ)证明:AC是⊙O的切线;(Ⅱ)如图2,若⊙O的半径为2,点D是弧MDB的中点,在AC延长线上有一动点N,连接DN交AB于点E,交弧BC于点F(F与B、C不重合),求DE·DF的值;(Ⅲ)如图3,点G是弧OC的中点,过G作AB的垂线,垂足为Q,作AB的平行线与AC交于点H.当HM是⊙O的切线时,求tanGOA的值.