等差数列及其前n项和练习题

优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导1第1讲等差数列及其前n项和一、填空题1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________．3．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.5．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．7．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且an＋λ2n为等差数列，则λ的值是________．8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.10．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.二、解答题11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝Snn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导212．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.13．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导3第2讲等比数列及其前n项和一、填空题1．设数列{a2n}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.解析由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以an＋2an＋1＝t，又a2a1＝t，所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.答案等比tn2．等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则S6S3＝________.解∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q(8＋q3)＝0∴q＝－2∴S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝－7.答案－73．数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.所以S4＝a11－q41－q＝1－241－2＝15.答案154．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为________．解析∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知45t2＝15t－15×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案55．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导4＋1·an＋2≥18的最大正整数n的值为________．解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a23(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由a1q2＝2，a1()1＋q＝12，解得a1＝8，q＝12，所以an＝8·12n－1＝12n－4.于是由an·an＋1·an＋2＝a3n＋1＝123(n－3)＝18n－3≥18，得n－3≤1，即n≤4.答案46．在等比数列{an}中，an0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝22(当且仅当a4＝a5＝2时取等号)．所以a4＋a5的最小值为22.答案227．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________.解析∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，又∵a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，∴q6＝a8a2＝2，∴q3＝2，∴a13a10＝q3＝2.答案28．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.答案33二、解答题11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；[来源:Zxxk.Com]优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导5(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差是d.依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，所以bn＝3n－2＋cn－1.所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)＝n3n－12＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1)．从而当c＝1时，Sn＝n3n－12＋n＝3n2＋n2.当c≠1时，Sn＝n3n－12＋1－cn1－c.[来源:Z*xx*k.Com]12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an201115恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．解(1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得a1q4－1q－1＝1，a1q8－1q－1＝17.相除得q8－1q4－1＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2(舍去)．由q＝2可得a1＝115，所以an＝2n－115.(2)由an＝2n－115201115，得2n－12011，而2102011211，所以n－1≥11，即n≥12.因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an201115恒成立．优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导613．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式an.(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13.所以a1＋d＝5，a1＋3d＝13，解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，Sn＝n·1＋nn－12·4＝2n2－n.假设存在常数k，使数列{Sn＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设Sn＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1使得{Sn＋kn}为等差数列．第3讲等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a23＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝12，∴Sn＝na1＋nn－12d＝n24＋74n.答案n24＋74n优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导72．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，若前n项的和为10，则项数为________．解析∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝n＋1－1＝10，∴n＝120.答案1203．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为________．解析∵a5＝5，S5＝15，∴5a1＋a52＝15，即a1＝1.∴d＝a5－a15－1＝1，∴an＝n.∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.设数列1anan＋1的前n项和为Tn.∴T100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.答案1001014．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝20a1＋b1＋a20＋b202＝20×5＋7＋602＝720.答案7205．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2n＝4n－1.∴数列{a2n}是以a21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a21＋a22＋…＋a2n＝1·1－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)优胜教育高二数学必修五数列张敬敬一对一个性化辅导86．定义运算：abcd＝ad－bc，若数列{an}满足a11221＝1且33anan＋1＝12(n∈N*)，则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________.解析由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案104n－27．在等比数列{an}中，a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析∵a4a1＝q3＝－8，∴q＝－2.∴an＝12·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.答案－22n－1－128．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为________．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11×102