指数函数经典题目

为什么要规定a0,且a1呢？①若a=0，则当x0时，xa=0；0时，xa无意义.当x②若a0，则对于x的某些数值，可使xa无意义.如③若a=1，则对于任何xR，xa=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了便于研究，规定：a0,且a≠1在规定以后，对于任何xR，xa都有意义，且xa0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).1(2)2xyx在时就没有意义。识记与理解•练习：（口答）判断下列函数是不是指数函数，为什么？√√xxxxxyaaayyyyxyaaaxy32)7()10()6(1)5()3()4()31()3()2()10()1(31且且例1已知指数函数的图象经过点(2,4)，求f(0),f(1),f(-3)。1且a0,aaf(x)x解:因为的图象经过点(2,4),所以f(2)=4,即,解得a=2,于是f(x)=所以,f(0)=1,f(1)=2,f(-3)=8__xaxf)(42ax21—x21.一般地，函数叫做指数函数，其中x是，函数的定义域是值域是.2.函数y=ax(a0,且a≠1)，当时，在(-∞,+∞)上是增函数；当时，在(-∞,+∞)上是减函数.3.y=ax(a0,且a≠1)的图象一定过点.当a1时，若x0,则y，若x0，则y;当0a1时，若x0,则y,若x0，则y.4.函数y=2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向平移个单位得到的；函数y=2(a0,且a≠1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的；函数y=a(a0,且a≠1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向平移个单位得到的.xm+y=ax(a＞0,且a≠1)自变量R（0,+∞）a10a1(0,1)1∈(0,1)∈(0,1)1右2右m左m—xm5.函数y=ax和y=a-x的图象关于对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于对称.6.当a1时，af(x)ag(x)；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x).y轴原点f(x)g(x)5.函数y=ax和y=a-x的图象关于对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于对称.6.当a1时，af(x)ag(x)；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x).学点一基本概念指出下列函数中，哪些是指数函数：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a,且a≠1.）21【分析】根据指数函数的定义进行判断.【解析】由定义，形如y=ax(a0,且a≠1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.（2）不是指数函数.（3）是-1与指数函数4x的积.(4)中底数-40,所以不是指数函数.(6)是二次函数,不是指数函数.(7)底数x不是常数,不是指数函数.已知指数函数y=(m2+m+1)·（）x,则m=.51解：∵y=(m2+m+1)·（）x为指数函数,∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.510或-1求下列函数的定义域、值域:（1）y=2;（2）y=（）（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.41x32x112xx【解析】（1）令x-4≠0,得x≠4.∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∴≠0,∴2≠1,∴y=2的值域为{y|y0，且y≠1}.（2）定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y==≥=1,故y=的值域为{y|y≥1}.（3）定义域为R.∵y=4x+2x+1+1=(2)2+2·2x+1=(2+1)2,且0,∴y1.故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y1}.41x41x41xX)32(X)23(0)23(X)32(XX（4）令≥0,得≥0,解得x-1或x≥1.故定义域为{x|x-1或x≥1}.值域为{y|y≥0,且y≠10}.12xx1x1-x（1）要使函数有意义，必须1-x≠0，即x≠1,∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1}.（2）要使函数有意义，必须-≥0,则≥2-1,∴-x2≥-1,即-1≤x≤1,∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1}.22X22X21求下列函数的定义域:（1）y=2;（2）y=；（3）x-1x121-22x-xy)21(1(3)∵1-≥0∴≤1,∴x≥0,即定义域为{x|x≥0}.x21x21比较下列各题中两个数的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.71，∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.53,∴1.72.51.73.（2）函数y=0.8x，由于00.81,∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1-0.2，∴0.8-0.10.8-0.2.（3）由指数函数的性质得1.70.31.70=1,0.93.10.90=1,∴1.70.30.93.1.讨论函数f(x)=的单调性,并求其值域.xx22)32(u)32(∵f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)=.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1］上是增函数,即当时，有.又∵f(u)=在其定义域内为减函数,∴.∴函数f(x)在(-∞,1］上为减函数,同理可得f(x)在［1,+∞)上为增函数.又∵u=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,f(u)=在(-∞,1］上是减函数,∴f(u)≥.即f(x)的值域为21uu121xxu)32()()(21ufufu)32()32(,328,41【解析】令=t,∵x∈［-3,2］,∴t∈,∴y==t2-t+1=,当t=时，y=;当t=8时，y=57.∴函数的最大值为57,最小值为.214343)21(2t43x2124xx求函数y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.124xx【分析】令=t，化函数为关于t的二次函数，再求解.x2已知函数y=a2x+2ax-1(a1)在区间［-1,1］上的最大值是14,求a的值.令t=ax,∵x∈［-1,1］，且a1,∴t∈.原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.∴单调增区间是［-1,+∞),∴当t∈时,函数单调递增,∴当t=a时,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又∵a1,∴a=3.aa,1aa,1maxy画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.12xy【解析】其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移1个单位，在x≥1的部分，二是把的图象向右平移1个单位，在x1的部分，对接处的公共点为(1,1)，如上图.xy)21(1,)21(1,22111xxyxxx由图象可知函数有三个重要性质：（1）对称性：对称轴为x=1;（2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调递增；（3）函数的值域：［1,+∞).画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).设a是实数，f(x)=a-(x∈R).（1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.122x(1)证明：设x1,x2∈R，且x1x2，x1-x20,则f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)==.由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1x2,所以,即.1221x1222x1222x1221x1))(212()2-2(22121xxxx02-2222121xxxx又由2x0得所以f(x1)-f(x2)0,因为此结论与a的取值无关，所以不论a为何实数，f(x)均为增函数.（2）由f(-x)+f(x)=0得得a=1.2121)2(212221)(2222a0,122-a122-axxxxxxxx-1,11,21221xx2xy说明下列函数图象与图象的关系。1(1)2xy1(2)2xy122xxyy将的图象向右平移1个单位就得到的图象122xxyy将的图象向左平移1个单位就得到的图象x说明下列函数图象与y=2的图象的关系(1)21xy(2)21xy211xyx将的图象向下平移个单位就得到y=2的图象211xyx将的图象向上平移个单位就得到y=2的图象2xy说明下列函数与图象的关系(1)2xy(2)2xy2xyy-x作图象关于轴对称的图象，即为y=2的图象。2xyyyx删出图象在轴左侧的部分，将轴右侧的部分对称到左侧，形成对称图象，即为y=2的图象。2xyyyx删出图象在轴左侧的部分，将轴右侧的部分对称到左侧，形成对称图象，即为y=2的图象。删除例题例4指数函数y＝3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝3x＋1＋1的图象，并画出它的图象．解把函数y＝3x的图象向左平移一个单位得到函数y＝3x＋1的图象，再把函数y＝3x＋1的图象向上平移1个单位就得到函数y＝3x＋1＋1的图象，如图．___x4311yOxy313xy131xy知识要点1.整数指数幂及其运算法则(,)(,)()(,)()()mnmnmmnnmnmnnnnaaamnZaamnZaaamnZababnZ)0(10aa*),0(1Nnaaann2.分数指数（1）根式的定义；（2）根式的性质；（3）分数指数幂；一般地，若则x叫做a的n次方根n叫做根指数，a叫做被开方数*),1(Nnnaxn当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=nnanna)0()0(aaaanmnmaanmnmaa1设函数y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使y1y2的x的值.解:(1)当a1时，使y1y2,由性质(3)有2x2+1x2+5x24-2x2(2)当0a1时，使y1y2,由性质(3)有2x2+1x2+5x24x2或x-2即解为{x|x2或x-2}求下列各等式中的x的值(1)2x2+1=2x+3；(2)22x-3(2x)-4=0解(1)要使两个同底的幂相等，只需它们的幂指数相等，所以由原式得x2+1=x+3即x2–x-2=0∴x=-1或2(2)设z=2x，原等式化为z2-3z-4=0(z+1)(z-4)=0即z=-1(舍去)或z=4由2x=4，得x=2例1,比较下列各题中几个值的大小：35.27.1,7.1（1）2.01.08.0,8.0（2）Oxy(0,1)y=1xy7.1Oxy(0,1)y=1xy8.0解：(1)考察函数y=1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.∵2.5＜3,∴1.72.5＜1.73(2)考察函数y=0.8x.由于底数0.8﹤1，所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.∵－0.1﹥－0.2,∴0.8–0.1﹤0.8–0.2(3)已知2m﹤2n判断m,n的大小(4)已知am﹥an(0﹤a﹤1)判断m,n的大小解:(3)考察函数y=2x，由于底数２﹥1,所以指数函数y=2x在R上是增函数。∵2m﹤2n∴m﹤n.(4)考察函数y=ax.由于底数0﹤a﹤1,所以指数函数y=ax在R上是减函数∵am﹥an∴m﹤n.求下列函数的定义域和值域.解:(1)要使函数有意义，必须使x≠0，所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);因为x≠0，则y≠1所以函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).(2)要使函数有意义，必须使x-1≥0，即x≥1