机器人避障问题

机器人避障问题院系：数学与数量经济学院专业：数学与应用数学班级：数学1001姓名：刘昕维学号：20100500132一、问题重述D题机器人避障问题图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(300,400)边长2002圆形圆心坐标(550,450)，半径703平行四边形(360,240)底边长140，左上顶点坐标(400,330)4三角形(280,100)上顶点坐标(345,210)，右下顶点坐标(410,100)5正方形(80,60)边长1506三角形(60,300)上顶点坐标(150,435)，右下顶点坐标(235,300)7长方形(0,470)长220，宽608平行四边形(150,600)底边长90，左上顶点坐标(180,680)9长方形(370,680)长60，宽12010正方形(540,600)边长13011正方形(640,520)边长8012长方形(500,140)长300，宽60在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为50v个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为21.0100e1)(vvv，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0,0)，A(300,300)，B(100,700)，C(700,640)，具体计算：(1)机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。(2)机器人从O(0,0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。3二、问题分析本题为在存在障碍物的情况下的最短路径及最短时间求解问题，在路径最短的前提下达到机器人的直线移动最大速度（50v个单位/秒），且满足机器人转弯时，转弯速度达到某一速度21.0100e1)(vvv（其中是转弯半径）时即可使得机器人到达目标点的时间最短。因此最短路径分析为本次问题的基础。§2.1求取最短路径的分析由前题要求，机器人与障碍物距离不得小于10单位，否则会发生碰撞。易得在可行区域（机器人、障碍物距离大于等于10单位）内，机器人移动的直线距离最短。且可知在障碍物顶点处不可行区域（机器人、障碍物距离小于10单位）有圆弧型边界，当机器人按此圆弧移动时距离最短。因此，整个机器人的移动路线可以看成直线与圆弧的连线。§2.1求取最短时间的分析通过分析可知，影响机器人移动时间的因素主要有：路程、直线行动速度、转弯速度。通过最短路径的分析可以得到机器人移动的最短距离，而直线上机器人的最大速度为50v个单位/秒，转弯速度随着转弯半径的增大而增大。因此达到指定位置所用的最短时间不一定在最短路径上，可能由于转弯速度的增大产生另一条用时最短的路线。三、模型假设1、机器人视为质点，可以沿可行区域边界移动。2、机器人直线、转弯移动均视为匀速且为最大速度。3、四、符号说明符号含义单位备注S机器人移动总距离T机器人移动总时间s（秒）sv机器人直线移动速度单位/秒rv机器人转弯速度单位/秒iA由原点出发可到达的点域的圆心iB由iA中点出发可到达的点域的圆心iC由iB中点出发可到达的点域的圆心4iOA§§