高中数学(人教A版)选修2-1之1.1.3-四种命题的相互关系-课件

1.1.3四种命题的相互关系在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”第四个人说：“我是老实人.”请判断一下，第四个人是老实人吗？回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________逆命题。否命题。逆否命题。四种命题的符号表示Ｐ的否定，记作“p”,读作“非Ｐ”若p则q逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q则p若p则q若q则p否命题与命题的否定否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。对于原命题:若p,则q有否命题:若┐p,则┐q。命题的否定:若p，则┐q。观察与思考？()()fxfx1）若是正弦函数，则是周期函数。()()fxfx2）若是周期函数，则是正弦函数。()()fxfx3）若不是正弦函数，则不是周期函数。()()fxfx4）若不是周期函数，则不是正弦函数。你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?1、四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆•原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？例1.等边三角形的三个内角相等.例2.若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形.（真）（真）（假）（真）原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.逆命题:若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？否命题:同位角不相等,两直线不平行.例1.原命题:同位角相等,两直线平行.例2.原命题:若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数否命题:若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数（真命题）（真命题）（真命题）（假命题）原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？例1.原命题:同位角相等,两直线平行.逆否命题:两条直线不平行,同位角不相等.例2.原命题:若ab,则ac2bc2。逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。（真命题）（真命题）（假命题）（假命题）原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。总结：想一想？由以上例子及结论我们能发现什么？原命题与逆否命题的真假是等价的逆命题与否命题的真假是等价的练一练1.判断下列说法是否正确1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真（对）2.四种命题真命题的个数可能为（）个答：0个、2个、4个如：原命题：若A∪B=A,则A∩B=φ逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假（错）例题讲解例1：设原命题：当c0时，若ab，则acbc.写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假解：逆命题：当c0时，若acbc,则ab.否命题：当c0时，若a≤b,则ac≤bc.逆否命题：当c0时，若ac≤bc,则a≤b.（真）（真）（真）分析：“当c0时”是大前提，写其它命题时应该保留原命题条件是“ab”，结论是“acbc”例2若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”,“或”的否定分别为“或”,“且”解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0否命题：若m0且n0,则m+n0逆否命题：若m+n0,则m0且n0（真）（真）（假）小结：在判断命题的真假时，只需判断与其等价的逆否命题的真假。逆命题与否命题因互为逆否命题,也是等价的分析：可证明与其等价的逆否命题证明：小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价例3证明：若,则220xy0xy22,0xyxy若中至少有一个不为0,则,0xyx若中至少有一个不为0,不妨设2220,0xxy则所以220xy也就是说因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；在证明过程中，推出自相矛盾的结论。.,0:baba那么如果用反证法证明例bababa或者则或者不大于假设,,babababbbaabaababa与所以因为,0,0baba所以矛盾这些都同已知条件,0证明:若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反设②归谬③结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?小结：用反证法证明过程中推理论证是要得出矛盾矛盾有三种可能：(1)与原命题的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理等矛盾；(3)与结论的反面成立矛盾(自相矛盾).反证法的基本思想：通过证明原命题的逆否命题是真，说明原命题是真命题.2）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)练习：1）原命题：若x=2或x=3,则x2-5x+6=0。逆命题：若x2-5x+6=0,则x=2或x=3。否命题：若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0。逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命题：若ab,则ac2bc2。逆命题：若ac2bc2,则ab。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假）（真）（真）（假）小结:四种命题间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q则p互否互逆互逆互否互为逆否互为逆否1．原命题为真，它的逆命题不一定为真2．原命题为真，它的否命题不一定为真3．原命题为真，它的逆否命题一定为真4.原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题是等价命题，它们同真同假(真命题个数是0或2或4）四种命题的真假关系