8.示范教案(2.5.1-等比数列前n项和公式的推导与应用)完美版

2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得qaaaaaaaannnn1223211...再由分式性质，得qaSaSnnn1,整理得)1(11qqqaaSnn教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间教学重点1.等比数列前n项和公式的推导2.等比数列前n项和公式的应用教学难点等比数列前n项和公式的推导教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+263=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+263,①2S=2+22+23+…+263+264,②②-①得2S-S=264-264-1这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生观察、独立思考、合作交流、自主探究师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+qn+qn+1生每一项就成了它后面相邻的一项师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+…+qn那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值生如果q≠1，则有qqSn11师当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果生如果q＝1，那么Sn=n师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+…+an=？［教师精讲］师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记Sn=a1+a2+a3+…+an那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+an要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-an师再次提醒学生注意q的取值如果q≠1，则有qqaaSnn11师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn如果q≠1，则有qqaSnn1)1(1师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？生独立思考、合作交流生如果q＝1，Sn=na1师完全正确如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？生正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍师对了，这就是认清了问题的本质师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：qaaaaaaaann1342312...再由合比定理，则得qaaaaaaaann1321432......即qaSaSnnn1从而就有(1-q)Sn=a1-an(以下从略思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an从而得(1-q)Sn=a1-an(以下从略师探究中我们们应该发现，Sn-Sn-=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生n＞师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-Sn-1=an，n＞师综合上面的探究过程，我们得出：1,1)1(,1,11qqqaqnaSnn或者1,1,1,11qqqaaqnan［例题剖析］【例题1】求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…；(2)a1=27,a9=2431,q＜［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得211a，21q,求n＝8时的和，直接用公式即可由(2)所给条件，需要从24319a中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8=19aa=272431，再由q＜0，可得31q，将所得的值代入公式就可以了生写出解答：(1)因为211a,21q，所以当n＝8时，256255211)21(1[2188S(2)由a1=27,24319a，可得272431198aaq，又由q＜0，可得31q于是当n＝8时，811640)31(1)2724311(2718S【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.于是得到300001.11)1.11(5000n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg6.1lgn≈041.02.0≈5(年答：大约5年可以使总销售量达到30000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5A组第1、2、3题板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演)例2练习：(学生板演)风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。所有的结局都已写好所有的泪水也都已启程却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索年轻的你只如云影掠过而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚遂翻开那发黄的扉页命运将它装订得极为拙劣含着泪我一读再读却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。尽管心很累很疲倦我却没有理由后退或滞留在过去与未来之间三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。我有所感事，结在深深肠。你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。心之所向素履以往生如逆旅一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。曾经沧海难为水，除却巫山不是云。回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，