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第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词问题提出1.对于命题p、q，命题p∧q，p∨q，﹁p的含义分别如何？这些命题与p、q的真假关系如何？p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的命题，当且仅当p、q都是真命题时，p∧q为真命题.p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的命题，当且仅当p、q都是假命题时，p∨q为假命题.﹁p：命题p的否定，p与﹁p的真假相反.2．在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；(2)对任意实数x，都有x2≥0；(3)存在有理数x，使x2－2＝0；(4)有些美国国会议员是狗娘养的.等.对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.探究(一)：全称量词的含义和表示思考1:下列各组语句是命题吗？两者有什么关系？(1)x＞3；对所有的x∈R，x＞3.(2)2x＋1是整数；对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.(3)方程x2＋2x＋a＝0有实根；任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.思考2：短语“所有的”“任意一个”“任给”等，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，你还能列举一些常见的全称量词吗？“一切”，“每一个”，“全体”等思考3：含有全称量词的命题叫做全称命题，如“对所有的x∈R，x＞3”，“对任意一个x∈Z，2x＋1是整数”等，你能列举一个全称命题的实例吗？“对M中任意一个x，有p(x)成立”思考4：将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表示，符号语言“x∈M，p(x)”所表达的数学意义是什么？思考5：下列命题是全称命题吗？其真假如何？(1)所有的素数是奇数；(2)x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)所有的正方形都是矩形.真假真假探究(二)：存在量词的含义和表示思考1：下列各组语句是命题吗？二者有什么关系？(1)2x＋1＝3；存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.(2)x能被2和3整除；至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.(3)|x－1|＜1；有些x0∈R，使|x0－1|＜1.思考2：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，你还能列举一些常见的存在量词吗？“有一个”，“对某个”，“有的”等思考3：含有存在量词的命题叫做特称命题，如“存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3”，“至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除”等，你能列举一个特称命题的实例吗？存在M中的元素x0，使p(x0)成立.思考4：符号语言“x0∈M，p(x0)”所表达的数学意义是什么？思考5：下列命题是特称命题吗？其真假如何？(1)有的平行四边形是菱形；(2)有一个实数x0，使；(3)有一个素数不是奇数；(4)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(5)有些整数只有两个正因数；(6)有些实数的平方小于0.200230xx真假真假真假思考6：如何判定一个特称命题的真假？x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找出一个元素x0，使p(x0)成立；x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.对都不成立.00,()xMPx理论迁移例1下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.(1)任意实数的平方都是正数；(2)0乘以任何数都等于0；(3)有的老师既能教中学数学，也能教中学物理；全称命题(假)全称命题(真)特称命题(真)(4)某些三角形的三内角都小于60°；(5)任何一个实数都有相反数.特称命题(假)全称命题(真)问题提出1.全称量词与存在量词的含义及其符号表示分别是什么？存在量词：表示“部分”的量词，用符号“”表示.全称量词：表示“全体”的量词，用符号“”表示；2.全称命题与特称命题的含义及其一般表示形式分别是什么？一般表示形式含义含有全称量词的命题特称命题全称命题含有存在量词的命题x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)3.如何判断全称命题与特称命题的真假？假命题真命题对任意x∈M都有p(x)成立存在x0∈M使得p(x0)成立x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)存在x0∈M使得p(x0)不成立对任意x∈Mp(x)不成立探究(一)：全称命题的否定(1)本教室内至少有一名学生不是男生思考1：你能写出下列命题的否定吗？(1)本教室内所有学生都是男生；(2)所有的平行四边形都是矩形；(3)每一个素数都是奇数；(4)x∈R，x2－2x＋1≥0.(2)有的平行四边形不是矩形(3)存在一个素数不是奇数(4)x0∈R，x02－2x0＋1＜0.思考2：从全称命题与特称命题的类型分析，上述命题与它们的否定在形式上有什么变化？全称命题的否定都变成了特称命题.思考3：一般地，对于含有一个量词的全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定﹁p是什么形式的命题？p：x∈M，p(x)(全称命题)﹁p：x0∈M，﹁p(x0)(特称命题)探究(二)：特称命题的否定思考1：你能写出下列命题的否定吗？(1)本节课里有一个人在打瞌睡；(2)有些实数的绝对值是正数；(3)某些平行四边形是菱形；(4)x0∈R，x02＋1＜0；(1)本节课里所有的人都没有瞌睡；(2)所有实数的绝对值都不是正数；(3)每一个平行四边形都不是菱形；思考2：从全称命题与特称命题的类型分析，上述命题与它们的否定在形式上有什么变化？特称命题的否定都变成了全称命题.思考3：一般地，对于含有一个量词的特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p是什么形式的命题？p：x0∈M，p(x0)(特称命题)﹁p：x∈M，﹁p(x)(全称命题)理论迁移例1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆(3)p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.(1)﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；(2)﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；(3)﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.例2写出下列特称命题的否定：(1)p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含有三个正因数.(1)﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；(2)﹁p：所有的三角形都不是等边三角形(3)﹁p：每一个素数都不含三个正因数.例3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：任意两个等边三角形都相似(2)p：x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；(1)﹁p：存在两个等边三角形，它们不相似；(2)﹁p：x∈R，x2＋2x＋2≠0；假命题真命题1.对含有一个量词的全称命题与特称命题的否定，既要考虑对量词的否定，又要考虑对结论的否定，即要同时否定原命题中的量词和结论.小结作业2.在命题形式上，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，这可以理解为“全体”的否定是“部分”，“部分”的否定是“全体”.3.全称命题和特称命题可以是真命题，也可以是假命题，当判断原命题的真假有困难时，可转化为判断其否命题的真假.