多所高校近世代数题库及部分答案

多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（×）2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（×）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（√）4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（√）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（×）6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（√）7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。（√）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（√）9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（×）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与pZ同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。（×）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设nAAA,,,21和D都是非空集合，而f是nAAA21到D的一个映射，那么（②）①集合DAAAn,,,,21中两两都不相同；②nAAA,,,21的次序不能调换；③nAAA21中不同的元对应的象必不相同；④一个元naaa,,,21的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集Z上，abbaba；②在有理数集Q上，abba；③在正实数集R上，babaln；④在集合0nZn上，baba。3、设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）①0和x；②1和0；③k和kx2；④k和)2(kx。5、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）①11abc；②11ac；③11bca；④cab1。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果6，那么G的阶G（）①6；②24；③10；④12。7、设21:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）①f的同态核是1G的不变子群；②2G的不变子群的逆象是1G的不变子群；③1G的子群的象是2G的子群；④1G的不变子群的象是2G的不变子群。8、设21:RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（）①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；③若a不是零因子，则b不是零因子；④若2R是不交换的，则1R不交换。9、下列正确的命题是（）①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）①FIIEIE:::；②IEFIEF:::；③IFFEFI:::；④FIIEFE:::。三、（2011年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1a。3、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA。4、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为nm。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个变换群同构。6、给出一个5-循环置换)31425(，那么113524。7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为Ryxayxiiii,,。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是一个最大理想。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果E的每一个元都是F上的一个代数元。四、（2011年近世代数）改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在naaa21里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么0S。S=I或S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和'd都是a和b的最大公因子，那么必有'dd。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元naaa,,,10使得010nnaaa。不都等于零的元五、（2011年近世代数）计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换34124321,43124321,34214321,432143214321组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及14131211,,,和G的所有子群。2、设5,4,3,2,1,06Z是模6的剩余类环，且xZxgxf6)(),(。如果253)(3xxxf、354)(2xxxg，计算)()(xgxf、)()(xgxf和)()(xgxf以及它们的次数。3、群G=(a),|a|=7，求出群G的所有子群。六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）1、设a和b是一个群G的两个元且baab，又设a的阶ma，b的阶nb，并且1),(nm，证明：ab的阶mnab。2、设R为实数集，0,,aRba，令RxbaxxRRfba,,:),(，将R的所有这样的变换构成一个集合0,,),(aRbafGba，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。3、设1I和2I为环R的两个理想，试证21II和2121,IbIabaII都是R的理想。4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整数环Z中，证明（3，7）=(1)6、证明：域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、R[x]条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在f映射下R[x]与R同构,并求其核。