三角函数之正交性-证明

提要259：三角函數之正交性(Orthogonality)在探討Fourier級數問題時，常需面對許多牽涉三角函數中之「正弦函數」和「餘弦函數」的定積分，解決此類常見問題時，前人發現，可利用以下三個簡單關係式推求出問題之積分值，這三個簡單積分式的關係稱為三角函數之正交性(Orthogonality)，說明如下。三角函數之正交性(Orthogonality)1.=≠=∫−nmfornmfornxdxmx,,0sinsinπππ2.=≠=∫−nmfornmfornxdxmx,,0coscosπππ3.nmnxdxmxandanyfor,0cossin=∫−ππ證明：雖然很少有人需面對三角函數之正交性(Orthogonality)的證明，但是對其由來之清楚瞭解，應有助於將以上所示積分公式背下來，甚至於在忘記積分公式時，還能將所需公式給推導出來。國中時，讀者應有學過三角函數之和積關係式如下：()bababasinsincoscoscos−=+(1a)()bababasinsincoscoscos+=−(1b)()abbabacossincossinsin+=+(1c)()abbabacossincossinsin−=−(1d)茲考慮式(1a)與式(1b)相加除以2、式(1b)減式(1a)再除以2、式(1c)與式(1d)相加除以2可分別求得：()()[]bababa−++=coscos21coscos(2a)()()[]bababa+−−=coscos21sinsin(2b)()()[]bababa−++=sinsin21cossin(2c)式(2a)-(2c)中之符號a改寫為mx、b改寫為nx，再分別對變數x進行π−到π之線積分，可得：()[]()[]{}∫∫−−++−=ππππdxxnmxnmnxdxmxcoscos21coscos(3a)()[]()[]{}∫∫−−+−−=ππππdxxnmxnmnxdxmxcoscos21sinsin(3b)()[]()[]{}∫∫−−++−=ππππdxxnmxnmnxdxmxsinsin21cossin(3c)其中()[]()[]()[]()[]()[]nmnmnmnmnmnmnmxnmdxxnm−−=−−−−−−=−−=−−−∫πππππππsin2sinsinsincos()[]()[]()[]()[]()[]nmnmnmnmnmnmnmxnmdxxnm++=++−−++=++=+−−∫πππππππsin2sinsinsincos()[]()[]()[]()[]0coscoscossin=−−−+−−−=−−−=−−−∫nmnmnmnmnmxnmdxxnmππππππ()[]()[]()[]()[]0coscoscossin=++−+++−=++−=+−−∫nmnmnmnmnmxnmdxxnmππππππ故式(3a)-(3c)可改寫為：()[]()[]nmnmnmnmnxdxmx+++−−=∫−ππππsinsincoscos(4a)()[]()[]nmnmnmnmnxdxmx++−−−=∫−ππππsinsinsinsin(4b)0cossin=∫−ππnxdxmx(4c)式(4a)與式(4b)中之正弦函數的值與m、n有關，說明下：n當nm≠且m、n均為自然數時，()[]0sin=++nmnmπ、()[]0sin=−−nmnmπ。o當nm=且m、n均為自然數時，()[]0sin=++nmnmπ、但()[]0sin≠−−nmnmπ，因為由羅必達定理(L’Hospital’sRule)知：()[]()[]()()[]ππππππ==−=−−=−−→→→0cos1coslimsinlimsinlimnmdmnmddmnmdnmnmnmnmnm(5)故式(4a)與式(4b)可加以改寫，再將式(4c)整理在一起，即可證出三角函數之正交性：=≠=∫−nmnmnxdxmx,,0coscosπππ(6a)=≠=∫−nmnmnxdxmx,,0sinsinπππ(6b)0cossin=∫−ππnxdxmx(其中m、n為任意值)(4c)