第二积分中值定理

第二积分中值定理若函数()fx在区间[,]ab上连续，而()px是区间[,]ab上的单调有界函数，则有点()cacb，使()()d()()d()()dbcbaacpxfxxpafxxpbfxx其中()lim()xapapx【右极限】，()lim()xbpbpx【左极限】。特别，若()0pa，则()()d()()dbbacpxfxxpbfxx()acb证明前的说明：()px是单调有界函数，所以它是可积的，而()()pxfx作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中，①不妨认为()0pa，否则，令()()()qxpxpa，则()0qa，于是由()()d()()dbbacqxfxxqbfxx即[()()]()d[()()]()dbbacpxpafxxpbpafxx，可得一般情形()()d()()d()()dbcbaacpxfxxpafxxpbfxx②不妨认为()px是单调增加函数，因为若()px是单调减小函数，就用[()]px替换()px。证首先划分区间[,]ab，即01211iinnaxxxxxxxb而在每一个小区间1[,]iixx上，都存在点1(,)iiixx，使11()d()()iixiiixfxxfxx【第一积分中值定理】于是，11()()d()()()iixiiiiixpfxxpfxx，求和得1111()()d()()()iinnxiiiiixiipfxxpfxx（※）现在，将左端做变换，即1111()()d()()d()diiiinnxbbiixxxiipfxxpfxxfxx1112()()d()()()dinbbiiaxipfxxppfxx因为()px是单调增加函数且()()0pxpa，所以11()0,()()0iippp；再用m和M分别表示函数()()dbxFxfxx()axb的最小值和最大值，则11()()diinxixipfxx112()()()niiipmppm()npm11()()diinxixipfxx112()()()niiipMppM()npM于是，根据式(※)，就得到估计式11()()()()()nniiiinipmpfxxpM让最大小区间的长度0nx，注意到()()nppb，则得()()()d()bapbmpxfxxpbM若()0pb，则()()d0bapxfxx，可任意取[,]cab；若()0pb，则1()()d()bampxfxxMpb根据连续函数的介值定理，必有点()cacb，使1()()()d()baFcpxfxxpb,即()()d()()()()dbbacpxfxxpbFcpbfxx注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。譬如，若函数()fx在区间[,]上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数ka和kb满足,kkMMabkk(1,2,)k其中M为正常数。事实上，因为区间[,]可被分成有限个子区间，而()fx在每一个子区间[,]ab上是单调有界函数，所以只要证明在[,]的子区间[,]ab上有上面的估计式就可以了。根据第二积分中值定理，则有11()cosd()cosd()cosdbcbkaacafxkxxfakxxfbkxx1sinsinsinsin()()kckakbkcfafbkk因此，sinsinsinsin1()()kkckakbkcafafbkk2()()Mfafbkk同理kMbk