定积分的计算方法研究毕业论文

1学士学位论文Bachelor’sThesis论文题目定积分的计算方法研究作者姓名施莉学号2009111010110所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称许绍元教授论文答辩时间2013年5月25日编号2013110110研究类型理论研究分类号O17湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文1湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：定积分的计算方法研究外文题目：Researchonintegrationtechniques学生姓名施莉学号2009111010110院系专业数学与应用数学班级0901学生承诺我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文2指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日目录1.定积分的产生背景及定义........................................41.1曲边梯形面积..............................................41.2定义1....................................................41.3定义2....................................................42.定积分的几种计算方法..........................................52.1定义法....................................................52.2换元法求定积分............................................52.3牛顿莱布尼兹公式..........................................92.4利用对称原理求定积分.....................................112.5利用奇偶性求函数积分.....................................132.6利用分部积分法计算定积分.................................152.7欧拉积分在求解定积分中的应用.............................163.结论.........................................................204.参考文献.....................................................20湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文3定积分的计算技巧研究施莉（指导老师：许绍元）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）内容摘要：定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活﹒如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的﹒因此，我们要研究定积分的计算方法﹒常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积分法、换元法以及其他的特殊方法﹒下面我们将探讨一下定积分的计算技巧﹒本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分﹒目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的﹒我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法﹒同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的﹒关键词：定积分；求法；应用定积分的计算技巧研究湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文41.定积分的产生背景及定义1.1曲边梯形面积设f为闭区间上的连续函数，且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形11()()iiinixxiiiSfxx变力做功：11()()iiinixxiiiWfxx定积分的意义：定义1：设闭区间上有1n个点，依次为：0121nnaxxxxxb,它们把,ab分成n个小区间i=1,iixx，1,2,3,,in﹒这些分点或者这些闭子区间构成,ab的一个分割，记为：011,,,,nnTxxxx或者12,,,n，小区间i的长度记为ix=ix-1ix，并记：T=maxix,称为T的模﹒注：由于ix≤T，1,2,3,,in，因此T可用来反映,ab被分割的细密程度﹒另外，分割一旦给出，T就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多﹒1.2定义1设f是定义在,ab上的一个函数，对于,ab的一个分割12,,,nT，任取ii，1,2,3,,in，并作和式1()iinixif，称此和式为f在上的积分和，也是黎曼和﹒显然积分既和分割T有关，又与所选的点集i有关﹒1.3定义2设f是定义在上的一个函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任一分割T，以及在其上任选的点集，只要T就有1()iinixifJ，则称f在[,]ab上可积或者黎曼可积﹒记作J=()bafxdx﹒其中，f称为被积函数，x为积分变量，为积分区间，\ab为积分的下限和上限﹒几何意义：设()fx为闭区间上的连续函数，定积分的值由曲线()yfx在x轴上方湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文5部分所有曲边梯形的证面积和下方所有曲边梯形的负面积的代数和﹒2.定积分的几种计算方法2.1定义法通过对积分区间作等分分割，并取适当点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分:130xdx.解：iin则130xdx=311lim()inniinn=2333244111lim(12)lim(1)44nnnnnnn.另外，在求数列极限时，有时也可根据定积分的意义定义化成求定积分的运算。例：33341lim(12)nnn.解：33341lim(12)nnn=311lim()inniinn=130xdx=4140x=14.2.2换元法求定积分利用换元法求定积分时，要注意换元的条件，要满足在积分区间上单调切具有连续导数。在做变量替换的同时，应相应替换积分的上限和下限。被积函数f(x)、积分上、下限,ab、积分变元的微分dx三者同时替换。换元后不必换成原定积分的变量，直接利用牛顿莱布尼兹公式计算。定理：设函数()fx在区间,ab上连续，函数()xt，满足条件：(1)(),()ab；(2)()t在,和,具有连续导数，且其值域aR=,ab，则'()(())()bafxdxfttdt①①称为定积分的换元公式。常用的几种代换：（1）三角代换：若被积函数中含有22ax，可令x=sinat或x=cosat;若被积函数湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文6中含有22ax，则可令x=tanat或者x=cotat；若被积函数中含有22xa，则可令x=secat或者x=cscat根式代换：若被积函数中含有naxb，则可令t=naxb；若被积函数中含有axbncxd，则可令t=axbncxd，若被积函数中含有naxb和maxb，则可令t=paxb，p=,mn（2）倒代换：一般用于分母次数较高的情况如：1711(2)dxxx，令1tx在具体解题时，还必须具体问题具体分析，灵活处理例1：求3220adxax﹒解：令x=tana，30,原式=332200(tan)11.sec33datdaaaa﹒例2、求101xdxx﹒解：令t=x,则2xt2112002()11ttdtdttt1012(1)1tdtt1120022ln1ttt12ln24﹒例3：计算定积分201sindxx﹒解：令t=tan2x，21dtdxt，22sin1txt201sindxx=2212101ttdttt021()21()8dtttt0112arctan2222tt22﹒例4：求I=119971(1)()xxxxeedx﹒解：令t=-xI=119971(1)()xxxxeedx=119971()(1)()()tttteedt=119971(1)()()tttteedt=119971(1)()xxxxeedx湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文7=211()xxxeedx112()xxdee111112()2()4(xxxxxeeeedxee）1112()8xxeee换元法求定积分应用广泛，但是极易出现错误﹒变换被积函数，自变量必须在原区间连续﹒例1：计算12111dxx.误解：令1xt2111222211111()111tdtdxdxxttx12111dxx=0解显然是错误的，换元设1xtt=0时,x无意义，1t在1,1上无界，不可导，不满足换元的基本条件故不可设1xt正解：根据定积分换元法的常用公式计算，若()fx在,ab上连续且为偶函数，则：0()2()aaafxdxfxdx即：11221011211dxdxxx102arctan2x。换元在区间上必须满足换元的条件：例：计算220(0)adxaxax﹒误解：设sinxat，则cosdxatdt当0x时0t;xa时2t湖北师范学院数学与统计学院2013届学士学位论文8原式=20cossincosatatatdt20cossincostdttt20cos(cossin)(sincos)(cossin)tttdttttt2011cos2sin22cos2ttdtt误因分析：被积函数中含有二次根式，通过换元法消去二次根式，设sinxat﹒虽然4t0,2但cossintt在4t处为0，故这样的计算是错误的﹒正解：令sinxat﹒原式=20cossincosatdtatat20cossincostdttt201sincoscossin2sincosttttdttt2200(sincos)1sincos24dtttt积分区间特殊的函数积分：例：计算24401sincosndxxx解：原式=2n0441sincosdxxx22222012(sincos)2sincosnxxxxdx=02211sin(2)2dxnx220(2)22cos2sin2dxnxxtan22(arctan)02oxn﹒误因分析：被积函数大于0且积分上限大于积分下限，积分值应大于0.原因在于t=tan2x在0,上不满足积分的条件﹒正解：原式=4n124401sincosdxxx=4n2220(2)2cos2sin2dxxx=408tan2arctan22nx=22n。误区分析：用换元法计算定积分时，虽然反复强调计算过程中的有关细节，但是有出现湖北师范学院数学与统计学院2013届