矩阵及其运算习题课2

1第二章矩阵21.矩阵的定义由mn个数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称mn矩阵.简记为:mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211这mn个数aij称为矩阵A的元素.A=Amn=(aij)mn=(aij).元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.一、基本概念32.特殊矩阵(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,n00000021的方阵,称为对角矩阵(2)形如(或对角阵),其中1,2,···,n不全为零.记作ding(1,2,···,n)(3)如果En=diag(1,2,···,n)=diag(1,1,···,1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn阶零矩阵记作Omn或O.4(5)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).,,,,21naaaA,21naaaB2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.1.两个矩阵的行,列数对应相等,称为同型矩阵.3.同型矩阵和相等矩阵4.矩阵的加法设有两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即5矩阵加法的运算规律(1)交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).矩阵A=(aij),称–A=(–aij)为矩阵A的负矩阵.A+(–A)=O,A–B=A+(–B).5.数与矩阵相乘数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.设A,B为同型的mn矩阵,,为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.数乘矩阵的运算规律6矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.skkjiksjisjijiijbabababac12211设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中6.矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.矩阵乘法的运算规律(1)结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn=A;7把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.7.转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质8.方阵的运算方阵的幂满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,定义为A1=A,Ak+1=AkA1,(k为正整数)8由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.方阵行列式的运算性质(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.9.一些特殊的矩阵设A为n阶方阵:(1)如果AT=A,称A为对称矩阵;(2)如果AT=–A,称A为反对称矩阵;(3)如果A2=A,称A为幂等矩阵;(4)如果A2=E,称A为对合矩阵;(5)如果AAT=ATA=E,称A为正交矩阵;9(6)主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵;(7)行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.性质:AA*=A*A=|A|E.对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的(非奇异的,非退化的),并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.10.逆矩阵10(2)矩阵A可逆的充要条件是|A|0.,||11AAA(3)若A是可逆矩阵,则(4)若AB=E(或BA=E),则B=A-1.(1)若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.(5)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且.111AA(7)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(6)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.(8)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.11逆矩阵的计算方法:;||11AAA(3)初等变换法(下一章介绍).(2)伴随矩阵法:(1)待定系数法;矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证.分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似．11.分块矩阵12矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．分块矩阵13例1:设,1111111111nnnnnnnnnnnnnA计算A2项式,并验证f(A)=O.,dcbaA例2:设试将f()=|E–A|写成的多例3:设A,B都是n阶可逆矩阵,证明D=为可逆矩阵,并求D–1.BCOA.,,11EOBAEZDCBAYECAOEX例4:设A,B,C,D都是n阶方阵,A是非奇异的,E是n阶单位阵,并且(2)证明:.||||1BCADADCBA(1)求矩阵积XYZ;14二、典型例题例1:设,1111111111nnnnnnnnnnnnnA1111111111nnnnA解:由于计算A2.151111111111222nnnAn)1()1()1(12nnnnnnnnnnnnn=A.所以,1111111111nnnn即A2=A,所以A为幂等矩阵.16解:dcbaAEf||)(由此得:项式,并验证f(A)=O.,dcbaA例2:设试将f()=|E–A|写成的多=2–(a+d)+(ad–bc).f(A)=A2–(a+d)A+(ad–bc)E.1001)()(22bcaddcbadadbccdacbdabbca.0000bcadbcaddadcdacbdabadadbccdacbdabbca002222得证f(A)=O.17,222112111XXXXD例3:设A,B都是n阶可逆矩阵,证明D=为可逆矩阵,并求D–1.BCOA必证:由于A,B都是n阶可逆矩阵,即|A|0,|B|0,则|D|=|A||B|0,所以D为可逆矩阵.设其中Xij均为n阶矩阵(i,j=1,2).XXXXBCOADD222112111221221111211BXCXBXCXAXAX.EOOE其中E为n阶单位矩阵.18由矩阵相等的定义有:EBXCXOBXCXOAXEAX221221111211.11111BCABOAD从而得,X11=A-1,X12=O,X21=–B-1CA-1,X22=B-1.故同理可得:设A,B都是n阶可逆矩阵,,BOCAD(1)若;11111BOCBAAD则(2)若,OBACD则.11111CBAABOD19.,,11EOBAEZDCBAYECAOEX例4:设A,B,C,D都是n阶方阵,A是非奇异的,E是n阶单位阵,并且(2)证明:.||||1BCADADCBA(1)求矩阵积XYZ;解(1):根据分块矩阵的乘法,得EOBAEDCBAECAOEXYZ11EOBAEBCADOBA11.1BCADOOA20|,|||||11BCADABCADOOAXYZ解(2):根据(1)的结果,得又由于|XYZ|=|X||Y||Z|,而|X|=|Z|=1,所以有.||||1BCADADCBA21例5:设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n–1.证明(1):当A=O时,|A|的所有代数余子式均为0,从而A*=0,故|A*|=0.当AO且|A|=0时,用反证法证明.假设|A*|0,则有A*(A*)–1=E,由此得A=AE=A[A*(A*)–1]=AA*(A*)–1=|A|E(A*)–1=O,这与AO矛盾,故当|A|=0时,|A*|=0.证明(2):当|A|=0时,则由(1)得|A*|=0,从而|A*|=|A|n–1成立.当|A|0时,由AA*=|A|E得,|A||A*|=|AA*|=||A|E|=|A|n,由|A|0得,|A*|=|A|n–1.22例6.)0(的逆矩阵求bcaddcba解方法一用定义求逆阵,43211xxxxA设得由,1EAA23,10014321xxxxdcba.1,0,0,142423131xdxcxbxaxdxcxbxa则有.,,,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得24.11acbdbcadA注.,元方程组矩阵的各列的同而常数项分别为单位个系数相实质上是求解的逆依定义求nnA25.,,,:,的逆矩阵即可得的每一个元素去除最后用符号再将次对角元素调换其置位中的主对角元素调换其先将矩阵其做法是的方法两调一除求二阶矩阵逆矩阵可用AAAA.,bcadAdcbaA方法二26A调换主对角元次对角元调符号acbd去除用A,1acbdA.11acbdbcadA注此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用．acbd