高等数学(一元函数积分学)测试卷

高等数学（一元函数积分学）测试卷一、填空题（每题4分，共20分）1.确定定积分dxx112的值2.估计定积分20)sin35(21dxx的取值范围3.设)(xf连续，0x，且212)1()(xxxdttf，则)2(f4.设平面图形由星形线tytx33sin2cos2所围成,则此平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为5.判定反常积分222xxdx的收敛性。如果收敛，写出其值；反之则只需写“发散”。二、选择题（每题3分，共15分）1.设：badxxfI,)(，据定积分的几何意义可知A.I是由曲线)(xfy及直线bxax,与x轴所围成图形的面积，所以0IB.若0I，则上述图形面积为零，从而图形的“高”0)(xfC.I是曲线)(xfy及直线bxax,与x轴之间各部分面积的代数和D.I是曲线)(xfy及直线bxax,与x轴所围成图形的面积2.已知质点以速度2)(ttetv（米/秒）作直线运动，则质点从时间11t秒到时间32t秒内所经过的路程为A.913eeB.913eeC.91eeD.9121ee3.已知连续函数)(xf满足方程1032)(11)(dxxfxxxf，则)(xf=A.32311)(xxxfB.311)(32xxxfC.3211)(xxxfD.条件不足，无法求出4.曲线)1ln(2xy在210，上的弧长为A.1222011()1dxx；B.1222011xdxx；C.1220211xdxx；D.122201[ln(1)]xdx.5.如果要求出)21(lim222222nnnnnnnn的值，我们可以运用定积分的概念求解，那么该极限与下列哪个定积分是等价的A.dxxx021B.dxx10211C.1011dxxD.dxx10211三、解答题（共55分）1.(12分）求不定积分（1）)41(2xxdx（2）xdx3sec2.（8分）已知,1,10,1)(lnxxxxf且,0)0(f求).(xf3.（12分）求定积分（1）adxxax0222（2）243coscosdxxx4.（8分）设曲线22,yxyx及0y，围成一平面图形（1）求这个平面图形的面积（2）求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积5.(15分）从下列三题中任选一题解答（1）半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为1，现将这球从水中取出，需作多少功?（2）边长为a和b的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h处。设ab，水的比重为，试求薄板所受的水压力P。（3）设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力。四、证明题（10分）1.设xf在ba,连续，且0xf，又dttfdttfxFxbxa1，证明：(1)2xF(2)0xF在ba,内有且仅有一个根。一、填空题（每题4分，共20分）1.12.4,23.22314.1052565.收敛二、选择题（每题3分，共15分）1.C2.D3.A4.B5.B三、解答题（共55分）1.(12分）求不定积分（1）令xt2,2lntdtdxcttdtttttdtdxxx2lnarctan2ln11112ln12ln)1()41(22222=cxx)2arctan2(2ln1（2）xdxxxxxxxdxdxtansectantansectansecsec3=xdxxxxxxdxxxx32sec|tansec|lntansecsec)1(sectanseccxxxxxdx|tansec|ln21tansec21sec32.（8分）设,lnxt则当10x时,,0t.1)(tf于是dttftf)()(,1Ct即1)(Cxxf当x1时,,0t,)(tetf于是dttftf)()(,2Cet即,)(2Cexfx得xCexCxxfx0,0,)(21又,0)0(f,01C再由)(xf在0x处连续,),(lim)0(0xffx得.12C所以.0,10,)(xexxxfx3.（12分）求定积分（1）令taxsin，则tdtadxcos当0x时0t，当ax时2t原式2022coscossintdtatata20420244cos182sin4dttatdta42044164sin41828ataa（2）原式242cos1cosdxxx2004sincossincosxdxxdxxx20230423cos32cos32xx323444.（8分）解　　　　　交点　　　　　　:()(,).(arcsin)12112132222201212212xyxySxdxxdxxxx131224416,()()22401212　Vxdxxdxx522132214232215()()().5.(15分）（1）解：建立如图所示的坐标系将高为r的球缺取出水面，所需的力Fx()为：FxGF()浮其中：Grg4313是球的重力，F浮表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式)3(2xrxV有gxrxrF1)3(3423浮从而)]2,0[()3()(2rxgxrxxF取x为积分变量，则xr[,]02，对于[,]02r上的任一小区间[,]xxdx，变力Fx()从0到xdx这段距离内所作的功。gxrxdxxFdW)3()(2grxxrgdxxrgxWrr4204320234123)3(另解建立如图所示的坐标系取x为积分变量，则xr[,]02，在[,]02r上任取一个小区间[,]xxdx，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为(())rrxdx222由于球的比重为1，故此薄片质量约为dmrrxdx[()]221将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为x。dWdmgxgrrxxdx[()]22Wgrrxxdxgrxxdxgrxxrgrrr[()]()22022302340242231443（2）解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是hbsin取x为积分变量，则xhhb[,sin](x表示水深)在[,sin]hhb中任取一小区间[,]xxdx，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是adxsin它所承受的水压力约为xadxsin于是，压力元素为dPaxdxsinPaxdxahbhabhbabhabbhhbsinsin(sin)sin(sinsin)(sin)sin222122222（3）解：建立如图所示的坐标系，质点M位于坐标原点，该圆弧的参方程为xRyRcossin()22在圆弧细棒上截取一小段，其长度为ds，它的质量为ds，到原点的距离为R，其夹角为，它对质点M的引力F的大小约为FkmdsR2F在水平方向(即x轴)上的分力Fx的近似值为FkmdsRx2cos而dsdxdyRd()()22细棒对质点的引力在水平方向的分力Fx的元素，dFkmRdxcos故FdFkmRdkmRxx222222cossin类似地FdFkmRdyy22220sin因此，引力的大小为22kmRsin，而方向指向圆弧的中心。四、证明题（10分）1.证：(1)21xfxfxF(2)01abdttfaF，0badttfbF又xF在ba,连续，由介值定理知0xF在ba,内至少有一根。又0xF，则xF单增，从而0xF在ba,内至多有一根。故0xF在ba,内有且仅有一个根。