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第1页（共2页）必修四易错训练题一．选择题（共6小题）1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．B．C．D．﹣12．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心3．已知点D为△ABC所在平面内一点．且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=λ，则λ的值为（）A．4B．5C．6D．74．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形5．以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得B．对于任意非零向量，若，则C．任意非零向量满足，则同向D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近6．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的最大值等于（）第2页（共2页）A．8B．9C．10D．11二．填空题（共4小题）7．在△ABC中，CA=2CB=2，•=﹣1，O是△ABC的外心，若=x+y，则x+y=．8．已知△ABC的外心为O，且2+3+4=，则cos∠BAC的值是．9．已知函数，给出下列结论：①f（x）的定义域为；②f（x）的值域为[﹣1，1]；③f（x）是周期函数，最小正周期为2π；④f（x）的图象关于直线对称；⑤将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数．其中，正确的结论是（将你认为正确的结论序号都写出）10．若y=sinx2+2cosx在区间[，a]（a≥0）上的最小值为﹣，则a的取值范围是．三．解答题（共1小题）11．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若m1，m2∈R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a的取值范围．第3页（共2页）必修四易错训练题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．B．C．D．﹣1【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算•（+）的最小值即可．【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣y+2y2=2x2+2（y﹣）2﹣；所以当x=0，y=时，取得最小值是﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是中档题．第4页（共2页）2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】根据题意，由•（+）=2•得出P在AB的中垂线上，由得出点P在BC的中垂线上，即点P是△ABC的外心．【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则+=2，∵•（+）=2•，即2•=2•，∴•（﹣）=•=0，即⊥，∴P在AB的中垂线上，又．∴（+）•（﹣）=﹣2•，∴（+）•=﹣2•，即•（+）=2•，∴点P也在BC的中垂线上，∴点P是△ABC的外心．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，所示中档题．3．已知点D为△ABC所在平面内一点．且=3+4，若点E为直线BC上一点，且=λ，则λ的值为（）第5页（共2页）A．4B．5C．6D．7【分析】利用平面向量基本定理以及向量共线的关系分别得到的两个表达式，根据定理得到对应向量系数相等，得到方程组解之．【解答】解：因为点E为直线BC上一点，所以设，且=λ，所以=（1+λ）（）=（1+λ）+（1+λ）x=（1+λ）（1﹣x）+（1+λ）x=，由平面向量基本定理得到，解得λ=6；故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，第6页（共2页）所以△ABC是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是综合性题目．5．以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得B．对于任意非零向量，若，则C．任意非零向量满足，则同向D．若A，B，C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近【分析】举例说明=时，命题A不成立；根据平面向量的数量积运算与模长公式，判断命题B正确；由平面向量数量积公式知方向相同或相反，判断命题C错误；根据平面向量的线性运算法则，得出2=，判断命题D错误．【解答】解：对于A，共线且为非零向量，若=时，则不存在实数λ，使成立，∴A错误；对于B，对于任意非零向量，若，则﹣=0，即，∴B正确；对于C，任意非零向量满足，则它们夹角的余弦值cosθ=±1，∴同向或反向，C错误；对于D，如图所示，第7页（共2页），∴+=+，∴（﹣）=（﹣），∴2=，∴点A是线段BC的三等分点且离B点较近，∴D错误．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本概念与命题真假的判断问题，是中档题．6．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．第8页（共2页）二．填空题（共4小题）7．在△ABC中，CA=2CB=2，•=﹣1，O是△ABC的外心，若=x+y，则x+y=．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与数量积运算，列方程组求出x、y的值，再计算x+y．【解答】解：如图所示，分别取CA，CB的中点D，E．连接OD，OE，则OD⊥CA，OE⊥CB；∴•=OC•AC•cos∠OCA=CD•CA=2，同理可得：•=CE•CB=；又•=（x+y）•=4x﹣y，•=（x+y）•=﹣x+y，∴，解得x=，y=，∴x+y=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8．已知△ABC的外心为O，且2+3+4=，则cos∠BAC的值是．【分析】利用向量的运算得出4||2=9||2+16||2+24，再利用外接圆得出4R2=25R2+24R2cos∠BOC，cos∠BOC=﹣，第9页（共2页）最后利用圆的几何性质，二倍角公式求解即可．【解答】解：∵△ABC的外心为O，且2+3+4=，半径为R∴﹣2=3+4，平方得出：4||2=9||2+16||2+24∴4R2=25R2+24R2cos∠BOCcos∠BOC=﹣，∵根据圆的几何性质得出：∠BOC=2∠BAC，﹣=2cos2∠BAC﹣1，∴cos∠BAC=故答案为：【点评】本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题9．已知函数，给出下列结论：①f（x）的定义域为；②f（x）的值域为[﹣1，1]；③f（x）是周期函数，最小正周期为2π；④f（x）的图象关于直线对称；⑤将f（x）的图象按向量平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数．其中，正确的结论是③④（将你认为正确的结论序号都写出）第10页（共2页）【分析】①sinx+cosx=sin（x+）≠0⇒x+≠kπ⇒x≠kπ﹣，①显然错；②由==±1，可判断②；③由==±1，f（x+2π）=f（x）可判断f（x）是周期函数，又f（x）=可判断最小正周期为2π；由f（x）的图象可判断④的正误；⑤将函数的图象按向量平移，g（x）=≠g（﹣x），其正误可判．【解答】解：∵sinx+cosx=sin（x+）≠0，∴x+≠kπ即x≠kπ﹣，故①错误；∵==±1，∴f（x）的值域为{﹣1，1}，故②错误；∵f（x+2π）===f（x），∴f（x）是周期函数，又f（x）=，∴其最小正周期为2π；故③正确；由f（x）=的图象可知…x=﹣，x=，x=，…均为其对称轴，故④正确；将函数的图象按向量平移得g（x）=，g（﹣x）==≠，故⑤错误．综上所述：③④正确．第11页（共2页）故答案为：③④．【点评】本题考查正余弦函数的定义域和值域，向量的平移及三角函数的周期性及其求法，着重考查学生综合分析与应用的能力，注重了分类讨论，转化，数形结合思想的考查，属于难题．10．若y=sinx2+2cosx在区间[，a]（a≥0）上的最小值为﹣，则a的取值范围是[0，]．【分析】利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的单调性即可得到a的取值范围．【解答】解：∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，令t=cosx，得到：y=﹣（t﹣1）2+2，当x=时，t=cos（）=﹣，当t=时，y=﹣，当t=1时，y=2，又由x∈[，a]，可知cosx∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，∴有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．故答案为：[0，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．三．解答题（共1小题）11．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；（1）若m=，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；第12页（共2页）（2）若m1，m2∈R且（m1，），（m2，）均为f（x）=sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜时，方程m1+m2=a有两个不相等的实根，求a的取值范围．【分析】（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，由题意sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k），由此求出m、k的值；（2）由题意求出m1、m2的值，利用m1+m2=a，结合三角函数的图象与性质求出a的取值范围．【解答】解：（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，则由题意应有：sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk﹣cosxsink=2sinxcosk；∴cosk=，解得k=2tπ±，t∈Z；∴存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立；∴f（x）=sinx是“可平衡”函数，且；（2）由题意m1sin2x=sin2（x+）+sin2（x﹣）=2cos2x，∴m1=；m2sin2x=sin2（x+）+sin2（x﹣）=sin2（x+）+cos2（x+）=1，解得m2=；∴m1+m2===a，解得cos2x=，∵0＜x＜，∴0＜2x＜，∴﹣＜cos2x＜1，且y=cos2x是单调递减，∴方程m1+m2=a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为∅．第13页（共2页）【点评】本题考查了三角函数的图